文档介绍：圆锥曲线的解题技巧
一、常规七大题型:
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为,,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论),消去四个参数。
如:(1)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0),则有。
(2)与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)则有
(3)y2=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.
典型例题给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点及,求线段的中点P的轨迹方程。
(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点、构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。
典型例题设P(x,y)为椭圆上任一点,,为焦点,,。
(1)求证离心率;
(2)求的最值。
(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。
典型例题
(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点
(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。
(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。
(1),可以设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即:“最值问题,函数思想”。
最值问题的处理思路:
1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x、y的范围;
2、数形结合,用化曲为直的转化思想;
3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值;
4、借助均值不等式求最值。
典型例题
已知抛物线y2=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,
|AB|≤2p
(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。
(5)求曲线的方程问题
--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。
-----求轨迹方程
典型例题
M
N
Q
O
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。
(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)
典型例题已知椭圆C的方程,试确定m的取值范围,使得对于直线,椭圆C上有不同两点关于直线对称
(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题已知直线的斜率为,且过点,抛物线,直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。
(1)求的取值范围;
(2)直线的倾斜角为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
四、解题的技巧方面:
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。下面举例说明:
(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
典型例题设直线与圆相交于P、Q两点,O为坐标原点,若,求的值。
(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题已知中心在原点O,焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点,且,,求此