文档介绍：二次函数专题复****讲义
学****目标:
,让学生理解二次函数的意义,理解二次函数与一元二次方程的关系。
通过****题的练****使学生掌握用描点法画出二次函数的图像,掌握确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴的方法。
通过****题的讲解与练****让学生灵活运用实际问题的分析确定二次函数的表达式,会根据抛物线的图像确定a,b,c的符号。
考
点
课标要求
知识与技能目标
了解
理解
掌握
灵活运用
二
次
函
数
理解二次函数的意义
*
会用描点法画出二次函数的图像
*
会确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴
*
通过对实际问题的分析确定二次函数的表达式
*
理解二次函数与一元二次方程的关系
*
会根据抛物线的图像确定a,b,c的符号
*
二、重难点:二次函数解决实际问题,二次函数与其它知识结合的有关问题
三、教学方法:讲练结合
四、教学过程
(一).二次函数的定义、图像与性质
题型一二次函数的定义
一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数;
③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次方程。
例1 ①判断一个函数是否为二次函数
下列函数中,是二次函数的是( )
A. B. C. D.
②求二次函数中的未知数
若函数y=(m-2)xm -2+5x+1是关于的二次函数,则m的值为。
探究提高:
判断一个函数是否为二次函数的方法和步骤
(1)先将函数进行整理,使其右边是含有自变量的代数式,左边是因变量;
(2)判断右边含自变量的代数式是否为整式;
(3)判断二次项的系数是否为零。
,求二次函数中未知数的方法和步骤
(1)使得二次项系数不为0;
(2)x的最高指数等于2;
(3)综合求解。
题型二二次函数的一般形式
任何一个二次函数的解析式都可以化成的形式,因此,把叫做二次函数的一般形式。其中分别是二次项、一次项和常数项;而分别是二次项系数,一次项系数和常数项。
例2 ①把下列二次函数化成一般形式,并指出二次项系数、一次项系数、常数项:
探究提高:
把二次函数化成一般形式的方法和步骤:
先把函数进行因式分解,再合并同类项进行整理,使其右边是含有自变量的代数式,左边是因变量。
题型三二次函数的图像与性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
当a>0时,抛物线开口向,并向无限延伸,顶点()是它的最
点.
(2)在对称轴直线的左侧,抛物线自左向右,在对称轴的右侧,抛物线自左右.
(1)当a<0时,抛物线开口向,并向无限延伸,顶点()是它的最点.
(2)在对称轴直线的左侧,抛物线自左向右;在对称轴右侧,抛物线自左向右.
例3 如果函数y=(a﹣1)x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a的取值范围是.
分析:
函数图象经过四个象限,需满足3个条件:
(I)函数是二次函数;
(II)二次函数与x轴有两个交点;
(III)二次函数与y轴的正半轴相交.
解答:
解:函数图象经过四个象限,需满足3个条件:
(I)﹣1≠0,即a≠1①
(II)△=9﹣4(a﹣1)=﹣4a﹣11>0,解得a<﹣②
(III)>0,解得a>1或a<﹣5③
综合①②③式,可得:a<﹣5.
故答案为:a<﹣5.
探究提高:
a,b,c的代数式
作用
字母的符号
图象的特征
a
1. 决定抛物线的开口方向;
2. 决定增减性
a>0
开口向
a<0
开口向
c
决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c)
c>0
交点在
c=0
抛物线过
c<0
交点在
决定对称轴的位置,对称轴是直线
ab>0
对称轴在y轴
ab<0
对称轴在y轴
b2-4ac
决定抛物线与x轴公共点的个数
b2-4ac>0
抛物线与x轴有交点
b2-4ac=0