文档介绍：专题二十一椭圆与双曲线
一、知识网络
二、高考考点
、标准方程与几何性质;
(或轨迹方程)的探求;
:对称问题;最值问题;范围问题等;
;
;
、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点
(一)椭圆
Ⅰ定义与推论
1、定义1的的认知
设M为椭圆上任意一点, 分别为椭圆两焦点, 分别为椭圆长轴端点,则有
(1)明朗的等量关系:
(解决双焦点半径问题的首选公式)
(2)隐蔽的不等关系: ,
(寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据)
2、定义2的推论
根据椭圆第二定义,设为椭圆上任意一点, 分别为椭圆左、右焦点,则有:
(d1为点M到左准线l1的距离)
(d2为点M到右准线l2的距离)
由此导出椭圆的焦点半径公式:
Ⅱ标准方程与几何性质
1、椭圆的标准方程
中心在原点,焦点在x轴上的椭圆标准方程①
中心在原点,焦点在y轴上的椭圆标准方程②
(1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系:
(2)标准方程①、②统一形式:
2、椭圆的几何性质
(1)范围: (有界曲线)
(2)对称性:关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心,椭圆的共性)
(3)顶点与轴长:顶点
,长轴2a,短轴2b(由此赋予a、b名称与几何意义)
(4)离心率: 刻画椭圆的扁平程度
(5)
准线:左焦点对应的左准线
右焦点对应的右准线
椭圆共性:两准线垂直于长轴;两准线之间的距离为;
中心到准线的距离为;焦点到相应准线的距离为.
Ⅲ挖掘与引申
1、具特殊联系的椭圆的方程
(1)共焦距的椭圆的方程
且
(2)同离心率的椭圆的方程
且
2、弦长公式:
设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点,
则;
或
。
(二)双曲线
Ⅰ、定义与推论
设M为双曲线上任意一点, 分别为双曲线两焦点, 分别为双曲线实轴端点,则有:
(1)明朗的等量关系: (解决双焦点半径问题的首选公式)
(2)隐蔽的不等关系: ,
(寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据)
设为双曲线上任意上点, 分别为双曲线左、右焦点,则有
,其中, 为焦点到相应准线li的距离
推论:焦点半径公式
当点M在双曲线右支上时, ;
当点M在双曲线左支上时, 。
Ⅱ、标准方程与几何性质
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程为①
中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为②
(1)标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系:
(2)标准方程①、②的统一形式:
或:
(3)椭圆与双曲线标准方程的统一形式:
(1)范围:
(2)对称性:关于x轴、y轴及原点对称(两轴一中心)
(3)顶点与轴长:顶点
(由此赋予a,b名称与几何意义)
(4)离心率:
(5)
准线:左焦点对应的左准线;右焦点对应的右准线
双曲线共性:准线垂直于实轴; 两准线间距离为;
中心到准线的距离为; 焦点到相应准线的距离为
(6)渐近线:双曲线的渐近线方程:
Ⅲ、挖掘与延伸
对于双曲线
(※)
(1)当λ+μ为定值时,(※)为共焦点的双曲线(系)方程:c2=λ+μ;
(2)当为定值时,(※)为共离心率亦为共淅近线的双曲线(系)方程: ;
(3)以直线为渐近线的双曲线(系)方程为:
特别:与双曲线共渐近线的双曲线的方程为: (左边相同,区别仅在于右边的常数)
设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点
则
经典例题
1、
(1)若椭圆的一个焦点是(-2,0),则a等于。
(2)已知椭圆的焦点为F1、F2,点P是其上的动点,当为钝角时,点P的横坐标的取值范围为。
分析:
(1)从此椭圆的标准方程切入。
由题设知已知得:
这里
由此解得
(2)这里a=3, b=2, c=
∴以线段F1F2为直径的圆的方程为
设,则由点P在椭圆上得: ①
又由为钝角得:
∴②
∴由①、②联立,解得:
∴所求点P横坐标的取值范围为
点评:注意到点P对的大小的影响可