探究高考题中有关椭圆焦点弦问题1.doc

文档介绍：有关椭圆焦点弦的高考题的探究
————八十中数学组
2007年重庆市高考第22题是关于椭圆的焦点弦一类问题,给我留下了深刻的印象和许多思考,本文将对该问题加以分析和探究。
问题:中心在原点的椭圆的右焦点为,右准线的方程为:。
(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三点,,,使,证明:为定值,并求此定值。
解:(I)易得所求椭圆方程为;
(2)记椭圆的右顶点为,并设(1,2,3),
不失一般性,假设,且,。
又设点在上的射影为,因椭圆的离心率,从而有。
变形得: 。,
,而
,
故为定值.
探究一: 对于一般的椭圆方程,是否也有类似的定值呢?由上述证明,不难得到:
(1)焦点为F的椭圆上三点,,,且,则有=。
证明:这里也可以采用极坐标的方法来证明。(由椭圆的对称性知:不妨设点F为左焦点)由圆锥曲线的极坐标方程,得。
不失一般性,设,且,,则有:
,即:=。
(2)焦点为F的双曲线同支上三点,且,则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值,证明同(1))
(3)焦点为F的抛物线上三点,且,则有=。(证明同(1))
探究二:前面的问题均限于三点,能否推广到个点呢?由上面的证明,我们不难得到:
(1)焦点为F的椭圆上依次有个不同的点,且满足,则有=。
证明:由圆锥曲线极坐标方程,得。
不失一般性,设,且,,则有:
由复数次单位根的知识,易得:
。
特别的,当及时,就是我们常见的椭圆中过焦点作直线的焦点弦问题。
(2)焦点为F的双曲线同支上有个不同点,且满足,则有倒数的代数和为定值。(允许极径为负值,证明同(1))
(3)焦点为F的抛物线上顺次有个不同点,且满足,则有=。
特别的,当及时,就是我们常见的抛物线中过焦点作直线的焦点弦问题。
探究三:如果研究对象不是焦点弦,而是中心距,是否也有类似的结论呢?
中心为O的椭圆上依次有个不同点,且满足,则有=。
证明:设,不失一般性,设,且,,代入方程,得,,所以
。从而有:
=。
探究四:如果