文档介绍：2002江苏,18
已知数列是等差数列,是等比数列,,分别求出及的前10项和和。
2003江苏,22
设a>0,如图,已知直线l:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a)。从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线l于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1,Qn(n=1,2,3,…)的横坐标构成数列{an}
(Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求{an}的通项公式;
(Ⅱ)当a =1,a1≤时,证明
ak+2<;
(Ⅲ)当a =1时,证明
ak+2<。
2004江苏,20
设无穷等差数列的前项和为
若首项,公差,求满足的正整数;
求所有的无穷等差数列,使得对于一切正整数,都有成立。
2005江苏,23
设数列的前项和为,已知,且
其中为常数.
(1)求的值;
(2)证明数列为等差数列.
(3)证明:不等式对任何正整数都成立。
2006江苏,21
设数列、、满足:,(n=1,2,3,…),
证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=1,2,3,…)
2007江苏,20
已知是等差数列,是公比为的等比数列,,记为数列的前项和,
(1)若是大于的正整数,求证:;(4分)
(2)若是某一正整数,求证:是整数,且数列中每一项都是数列中的项;(8分)
(3)是否存在这样的正数,使等比数列中有三项成等差数列?若存在,写出一个的值,并加以说明;若不存在,请说明理由;(4分)
解:设的公差为,由,知,()
(1)因为,所以,
,
所以
(2),由,
所以解得,或,但,所以,因为是正整数,所以是整数,即是整数,设数列中任意一项为
,设数列中的某一项=
现在只要证明存在正整数,使得,即在方程中有正整数解即可,,所以
,若,则,那么,当时,因为,只要考虑的情况,因为,所以,因此是正整数,所以是正整数,因此数列中任意一项为
与数列的第项相等,从而结论成立。
(3)设数列中有三项成等差数列,则有
2设,所以2,令,则,因为,所以,所以,即存在使得中有三项成等差数列。
2008江苏,19
19.(1)设是各项均不为零的()项等差数列,且公差,若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.
(i)当时,求的数值;
(ii)求的所有可能值.
(2)求证:对于给定的正整数,存在一个各项及公差均不为零的等差数列
,其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.
【考点分析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识,考查应用分类讨论思想方法进行探索、分析及论证的能力。
解:首先证明一个“基本事实”:
一个等差数列中,若有连续三项成等比数列,则这个数列的公差.
事实上,设这个数列中的三项成等比数列,则
由此得.
(1)(i)当时, 由于数列的公差,故由“基本事实”推知,删去的项只可能为或.
①若删去,则由成等比数列,,故由上式得,,满足题设.
②若删去,则由成等比数列,得.
因,故由上式得,,满足题设.
综上可知,的值为或.
(ii)当时,则由满足题设的数列中删去一项得到的数列,必有原数列中的连续三项,从而这三项既成等差数列又成等比数列,故由“基本事实”