文档介绍：模块五测量误差的基本知识误差传播定律的应用
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误差传播定律的应用
11/15/2018

一、误差传播定律
二、注意事项
三、应用举例
11/15/2018

在实际工作中,有些未知量经常不能直接测定,必须由直接观测值间接推算出来。如多边形的内角和,而是直接测定内角,然后相加得出内角和,因此,多边形的内角和为各个独立观测角的函数。又如,对某段距离作了n次同精度丈量得
,求该段长度的算术平均值
,即
用三角高程测量的方法测量地面上两点的高差h,是通过观测的水平距离D和竖直角
;
,按照函数关系
来计算的,
等等。
以上各式都称函数式,可以
测表示。显然,在直接观测的情况下,观测值的中误差和观测值
表示。显然,在直接观
函数的中误差存在着一定的关系。阐述独立观测值中误差和观测值函数中误差之间关系的定律,称为误差传播定律,它在测量中应用十分广泛。
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一、误差传播定律
设z是独立观测量x1,x2,…,xn的函数,即
式中: x1,x2,…,xn为互相独立的直接观测量,它们相应的观测值的中误差分别为m1,m 2,…,mn。
当x1,x2,…,xn分别有真误差△x1,△x2,…,△xn时,则函数z随之产生真误差△z,因误差△x(i=1,2,…,n)是一个微小数值,变量的误差与函数误差之间的关系,可以近似地用函数的全微分来表达。把
微分得
如将上式中的微分量“d”改用真误差“△”,则得
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式中
代入偏导数后求出的数值,故均为常数。
根据中误差的定义,即可直接写出中误差关系式:
为函数z分别对各变量 xi 的偏导数,并将观测值xi
则观测值的函数z的中误差为:
(5—6)
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等于该函数对每个观测值所求得的偏导数值与相应观测值中误差乘积的平方取总和再求平方根。
从公式(5—6)的推导过程可以总结出应用误差传播定律时的几个步骤:
(1)写出函数式,如
(2)对函数z进行全微分,即
,分别求出
(3)将
、
带入关系式(5—6)求出
根据关系式(5—6)可导出下列简单函数式的中误差传播公式(见表5—2)。
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表5—2 简单函数式的中误差传播公式
函数名称
函数式
中误差传播公式
备注
倍数函数
为
常数
和差函数
线性函数
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二、注意事项
应用误差传播定律应注意以下两点: 【例5—3】用长30 m的钢尺丈量了10个尺段,若每尺段的中误差为
=±5 mm,求全长D及其中误差mD。
1)函数式 D=10
按倍数函数式求全长中误差,将得出
=10×30=300 m
2)实际上全长应是10个尺段之和,故函数式应为
用和差函数式求全长中误差,因各段中误差均相等,故得全长中误差为
按实际情况分析用和差公式是正确的,用倍数公式是错误的。
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,即互不相关。
【例5—4】有函数式:z=y1+2y2=1 (a) 而: y1=3x; y2=2x+2 (b) 若已知x的中误差为mx,求z的中误差mz。 1)直接用公式计算,由(a)式得:
由(b)式得:
代入(c)式得
(上面所得的结果是错误)
上面的结果为什么是错误的?