文档介绍：函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念:
①设函数的定义域为,如果对内的任意一个,都有,
且,则这个函数叫奇函数。
(如果已知函数是奇函数,当函数的定义域中有0时,我们可以得出)
②设函数的定义域为,如果对内的任意一个,都有,
若,则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出,讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断,看其定义域是否关于原点对称。也就是说当在其定义域内时,也应在其定义域内有意义。
③图像特征
如果一个函数是奇函数这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于轴对称。
④复合函数的奇偶性:同偶异奇。
⑤对概念的理解:
(1)必要条件:定义域关于原点成中心对称。
(2)与的关系:
当或或时为偶函数;
当或或时为奇函数。
二、函数的奇偶性与图象间的关系:
①偶函数的图象关于轴成轴对称,反之也成立;
②奇函数的图象关于原点成中心对称,反之也成立。
三、关于函数奇偶性的几个结论:
①若是奇函数且在处有意义,则
②偶函数偶函数=偶函数;奇函数奇函数=奇函数;
偶函数偶函数=偶函数;奇函数奇函数=偶函数;
偶函数奇函数=奇函数
③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,
偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.
(一)、关于函数奇偶性的判定
方法:
定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断或是否定义域上的恒等式;
图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性
说明:
(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。
(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称。
(3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可。
(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数。
:
1); 2)
3) 4)
5)
(6) 已知函数满足:,且,则函数的奇偶性为。
(二)、关于函数奇偶性的运用
,又当时,试求的解析式。
,当时,,求当时,得解析式。
,,当时,,求的值
,在区间上递增,且有,求的取值范围。
,若,求的值。
,则。
,是奇函数,且,试求的表达式。
,求实数的值。
,则实数=___