文档介绍：学科:数学
教学内容:充分条件与必要条件
【基础知识精讲】
对于命题“若p则q”,即p是条件,q为结论.
(1)如果已知pq,我们就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
例如,“若x=y,x2=y2”是一个真命题,可写成
x=yx2=y2
“x=y”是“x2=y2”的充分条件,
“x2=y2”是“x=y”的必要条件.
(2)如果既有pq,又有qp,就记作
pq.
这时,p既是q的充分条件,又是q的必要条件,我们就说p是q的充分必要条件,简称充要条件.
例如,命题p:x+2是无理数,
命题q:x是无理数.
由于“x+2是无理数”“x是无理数”,所以p是q的充要条件.
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念,主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系:
①若pq,但qp,则p是q的充分但不必要条件;
②若qp,但pq,则p是q的必要但不充分条件;
③若pq,且qp,则p是q的充要条件;
④若pq,且┒p┒q,则p是q的充要条件;
⑤若pp,且qp,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
若条件p以集合A的形式出现,结论q以集合B的形式出现,则
①若AB,则p是q的充分条件;
②若AB,则p是q的必要条件;
③若A=B,则p是q的充要条件;
④若AB,且AB,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
从集合的观点来判断充要条件的思考方法,可以进一步加深对充要条件的理解.
,必要条件,充要条件时须注意的问题.
(1)充分而不必要条件,必要而不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件,反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,要注意以下几点:
①确定条件是什么,结论是什么;
②尝试从条件推结论,结论推条件;
③确立条件是结论的什么条件;
④要证明命题的条件是主要的,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立,证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.
(2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语.
在解题时常常遇到与充要条件同义的词语,如“当且仅当”“必须且只需”“等价于”“……反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言,对理解和把握数学知识是十分重要的.
【重点难点解析】
本小节重点是充分条件、必要条件、“若p则q”命题中,p是q(或q是p)的什么条件的判断问题.
首先要注意“条件”和“结论”“pq”中p和q都可认为是条件(或结论),,充分条件和必要条件是同时定义的,亦即对“pq”而言,p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
例1 请在下列各题中选出(A)充分不必要条件,(B)必要不充分条件,(C)充分必要条件,(D)既不充分也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空:
(1)p∶(x-1)(x+2)=0是q∶x=-2的.
(2)p∶x>5是q∶x>3的.
(3)p∶0<x<5是q∶|x-2|<3的.
(4)p∶x≤2是q∶x<2的.
解:(1)p={x|(x-1)(x+2)=0}q={x|x=-2},即qp,∴填