文档介绍：迭加原理
仍然考虑下图2-16所示的二阶线性系统。
图2-16. 弹簧-阻尼器-质量的二阶线性系统
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,我们已经导出了单自由度线性系统承受任意激励力的响应的运动微分方程:
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通常,可以把振动系统的响应和激励分别称为系统的“输出”和“输入”。而系统的响应和激励之间,或者说系统的“输出”和“输入”之间,在我们引入了以下的“线性微分算子”以后,可以给出有意义的说明。
首先,引入线性微分算子:
这样,即可用符号的形式表示出运动微分方程():
方程()可以看作是微分算子对函数进行运算,其运算结果即为系统的运动微分方程()。
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激励
F(t)
系统特征
D
响应
x(t)
图2-17. 输入-黑箱-输出
图形表示:如果输入进入所表示的黑箱内,那么其输出就是。
方程()所表示的关系式: ,可以由下面的图2-17表示出来:
显然,微分算子中包含了系统的所有特征。因为它不但包括了系统的所有参数,即、和,而且,它还指明了哪一个参数和哪一阶导数相乘。在系统分析术语中, 则表示了所谓的二阶系统的“黑箱”。
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那么,我们说该系统是线性的,否则,就是非线性的。
现在,我们可以用算子来定义系统的线性概念。为此,考虑两个激励和,并以和分别表示相应的响应,那么有:
然后,考虑激励和的一个线性组合:
其中, 和为已知常数。这时,如果相应激励的响应满足下式:
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下面,我们将利用线性微分算子来表达前面的论述:
这便是所谓“迭加原理”的数学陈述。
由前面的推导过程可以看出,显然,迭加原理只适用于线性系统。也就是说,对于“线性系统”,可以分别地求出所给定的许多个别激励的响应,然后将这些响应线性的迭加起来,即得到了系统对所有激励的总的响应。
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迭加原理虽然具有非常好的实用意义,但是它并不适用于“非线性系统”。而实际上也正是由于这一原理,使得“线性系统”的理论要比“非线性系统”的理论发展和完善得多。
我们前面虽然没有明确说明,但实际上已经应用了这里所陈述的“迭加原理”,并且根据该原理得出了线性系统同时承受始终存在的谐波激励和初始激励这两种组合激励的响应。
后面的章节中,我们将同样利用“迭加原理”。
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对周期性激励的响应,傅立叶级数
前面,我们导出了系统承受谐波激励的稳态响应。并且由于系统是线性的,所以由初始条件所产生的瞬态响应可以单独地求出,然后应用迭加原理,使之与稳态响应迭加起来,即构成了线性系统的整个响应。
很显然,任何频率为的谐波激励都是周期性的,即每经过时间间隔,谐波激励便出现重复,这里的即为谐波激励的周期。
振动系统中,还常常会遇到其他类型的周期性激励,但激励却不一定是谐波的,如下页图2-18所示的周期性的激励函数。显然,该激励并不是谐波的。
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图2-18. 非谐波周期函数
但我们知道,只要满足一定的条件,任何的周期函数都可以由一系列的谐函数组成的收敛级数来表示。并且,级数中谐函数的频率均为某一个被称为“基频”的基本频率的整数倍,而这些基频的整数倍又称为“谐频”。显然,第一个谐频就是基频。这种由谐函数组成的级数称为“傅立叶级数”。
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设一周期激励的位移函数为:
傅立叶级数()中,系数和实际上分别表示了谐波分量和在周期函数中所参