文档介绍：“多次相遇问题”解题技巧
“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲,直线型更加复杂。环型只是单纯的周期问题。
一、直线型
直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两人从路的两端同时出发相向而行;“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。
(一)两岸型
两岸型甲、乙两人相遇分两种情况,可以是迎面碰头相遇,也可以是背面追及相遇。题意如果没有明确说明是哪种相遇,对两种情况均应做出思考。
1、迎面碰头相遇:
如下图,甲、乙两人从A、B两地同时相向而行,第一次迎面相遇在a处,(为清楚表示两人走的路程,将两人的路线分开画出)则共走了1个全程,到达对岸b后两人转向第二次迎面相遇在c处,共走了3个全程,则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了2个全程。所以第三次相遇共走了5个全程,依次类推得出:第n次相遇两人走的路程和为(2n-1)S,S为全程。
而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍,分开看每个人都是2倍关系,经常可以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从a到c走过的路程是从起点到a的2倍。
相遇次数全程个数再走全程数
1 1 1
2 3 2
3 5 2
4 7 2
………
n 2n-1 2
2、背面追及相遇
与迎面相遇类似,背面相遇同样是甲、乙两人从A、B两地同时出发,如下图,此时可假设全程为4份,甲1分钟走1份,乙1分钟走5份。则第一次背面追及相遇在a处,再经过1分钟,两人在b处迎面相遇,到第3分钟,甲走3份,乙走15份,两人在c处相遇。我们可以观察,第一次背面相遇时,两人的路程差是1个全程,第二次背面相遇时,两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍,单看每个人多走的路程也是第一次的2倍。依次类推,得:第n次背面追及相遇两人的路程差为(2n-1)S。
(二)单岸型
单岸型是两人同时从一端出发,与两岸型相似,单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况。
1、迎面碰头相遇:
如下图,假设甲、乙两人同时从A端出发,假设全程为3份,甲每分钟走2份,乙每分钟走4份,则甲乙第一次迎面相遇在a处,此时甲走了2份,乙走了4份,再过1分钟,甲共走了4份,乙共走了8份,在b处迎面相遇,则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同,依次类推,可得出:当第n次碰头相遇时,两人的路程和为2ns。
2、背面追及相遇
与迎面相遇相似,假设全程为3份,甲每分钟走1份,乙每分钟走7份,则第一次背面相遇在a处,2分钟后甲走了2份,乙走了14份,两人在b处相遇。第一次相遇,两人走的路程差为2S,第二次相遇两人走的路程差为4S,依次类推,可以得出:当第n次追及相遇时,两人的路程差为2ns。
“直线型”总结(熟记)
①两岸型:
第n次迎面碰头相遇,两人的路程和是(2n-1)S。
第n次背面追及相遇,两人的路程差是(2n-1)S。
②单岸型:
第n次迎面碰头相遇,两人的路程和为2ns。
第n次背面追及相遇,两人的路程差为2ns。
下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型:
{模型一}:根据2倍关系求AB两地的距离。
【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步,甲从A,乙从B同时出发,第一次相遇点距B
60米,当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?
A、150 B、170 C、180 D、200
【答案及解析】B。如下图,第一次相遇在a处,第二次相遇在b处,aB的距离为60,Ab的距离为10。以乙为研究对象,根据2倍关系,乙从a到A,再到b共走了第一次相遇的2倍,即为60×2=120米,Ab为10,则Aa的距离为120-10=110米,则AB距离为110+60=170米。
 
{模型二}:告诉两人的速度和给定时间,求相遇次数。
【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳,,。
两人同时分别从泳池的两端出发,触壁后原路返回,如是往返。如果不计转向的时间,则
从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?
A、2 B、3 C、4 D、5
【答案及解析】B。题目没说是迎面还是背面,所以两种相遇的次数都应该计算。分开讨论,如是是迎面相遇,则走的全程的个数为个,根据迎面相遇n次,走的全程为2n-1=5,求得n=3;如果是背面相遇,则走的全程数为,故在1分50秒内,不能背面相遇。所以共相遇3次。
{模型三}:告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离,求AB两地的距离。
【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行
20千米,乙车每小时行