全微分方程的解法(PPT课件).ppt

文档介绍：恰当方程(全微分方程)
一、概念
二、全微分方程的解法
一、概念
若有全微分形式
则
称为全微分方程。
定义:
例1:
所以是全微分方程.
方程是否为全微分方程?
解:
通解则为(C为任意常数)。
问题:
(1)如何判断全微分方程?
(2)如何求解全微分方程?
(3)如何转化为全微分方程?
定理1 设函数
和
在一个矩形区域
是全微分方程
中连续且有连续的一阶偏导数,则
(1)证明必要性
证明:
因为是全微分方程,
则存在原函数,使得
所以
将以上二式分别对求偏导数,得到
又因为偏导数连续,
,即
所以
(2)证明充分性
设
,求一个二元函数使它满足
即
由第一个等式,应有
代入第二个等式,应有
这里
因此
,则
因此可以取
此时
这里由于,故曲线积分与路径无关。因此
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
或
(2) 偏积分法
第一个等式对积分
代入第二个等式求
,即可得
(3)凑微分法
直接凑微分得
例2:验证方程
是全微分方程,并求它的通解。
由于
解: