文档介绍：非线性规划模型及理论基础
模型及解的概念
模型
当S=Rn时,称为无约束最优化问题,否则,称为约束最优化问题。
主要研究如下形式的最优化问题
f(x)称为目标函数,g(x)≥0,h(x)=0称为函数约束条件。
若f(x), g(x),h(x)都是线性函数,即为线性规划问题。
若f(x), g(x),h(x)中至少有一个为非线性函数,则称为非线性规划问题,简称最优化问题。
解的概念
局部极小点
对于若存在当时,总有则称x*为f(x)在S上的一个局部极小点。若不等式为严格不等式,则称为严格的局部极小点。
全局极小点
对于若对任意的总有则称x*为f(x)在S上的一个全局极小点。
多元函数分析
可微性:对n元函数f(x),若存在向量L,使得对任意向量d,有
则称f(x)可微,向量L称为f(x)在x处的梯度,记为。
Hessian阵
Taylor展开
下降方向:对若存在使对任意的有则称d是x处的一个下降方向。
可行方向:对若存在使对任意的有则称d是x处的一个可行方向。
下降可行方向:既是下降、又是可行的方向,称为下降可行方向。
最优性条件
定理1 设f 在x处可微,如果存在向量d,使
则d必为f 在x处的下降方向。
定理2(一阶必要条件)设f 为S上的连续可微函数, x*是f 在S上的一个局部极小点,则对x*处的任一可行方向d,必有
推论若局部极小点x*是S的内点,则
定理3(二阶必要条件)设f 为S上的二阶连续可微函数, x*是f 在S上的一个局部极小点,则对x*处的任一可行方向d,必有
1)
2)若, 则
推论若局部极小点x*是S的内点,则
且H(x*)半正定。
定理4 (二阶充分条件)设f 为S上的二阶连续可微函数,若▽f(x*)=0,且H(x*)正定,则x*是f 在S上的一个严格局部极小点。
凸函数与凸规划
凸函数
设f(x)是凸集S上的函数,若对S中任意的x,y,及有
则称f(x)是S上的凸函数。
性质1 若fi(x)为凸函数,则
是凸函数。
性质2若f(x)为凸函数,则—f(x)为凹函数。
定理1 设f(x)是S上的凸函数,则对任一实数c,
为凸集。
定理2 设f(x)是凸集S上的连续可微函数,则它为凸函数的充要条件是:对任意的x,y,有
定理3 设f(x)是凸集S上的二阶连续可微函数,则它为凸函数的充要条件是: f(x)的Hesse阵在S上处处半正定。