文档介绍：第一部分求数列的通项公式
一、数列的相关概念与表示方法(见辅导书)
二、求数列的通项公式
四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。
求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。
一、累加法
: ----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
若,
则
两边分别相加得
已知数列满足,求数列的通项公式。
已知数列满足,求数列的通项公式。
,且写出数列的通项公式.
答案:
,,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和
评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
, 且,求数列的通项公式.
练习3 已知数列满足,求数列的通项公式。
二、累乘法
1、适用于:
累乘法是最基本的二个方法之二。
若,则
两边分别相乘得,
例4 已知数列满足,求数列的通项公式。
,且(=1,2, 3,…),则它的通项公式是=________.
三、待定系数法适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。
,其中)型
(1)若c=1时,数列{}为等差数列;
(2)若d=0时,数列{}为等比数列;
(3)若时,数列{}为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法:设,
得,与题设比较系数得
,所以所以有:
因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,
所以即:.
规律:将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1).
例6、已知数列中,,求数列的通项公式。
: (其中q是常数,且n0,1)
①若p=1时,即:,累加即可.
②若时,即:,
求通项方法有以下三种方向:i.
即: ,令,则,然后类型1,累加求通项.
. 目的是把所求数列构造成等差数列。
即: ,
令,,
:目的是把所求数列构造成等差数列
,求出,转化为等比数列求通项.
注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。
例7、已知数列满足,求数列的通项公式。
练习3.(2009陕西卷文)
已知数列满足, .
令,证明:是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式。
答案:(1)是以1为首项,为公比的等比数列。(2)。