文档介绍：教学目标:
(i)知识目标:
(1)掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
(2) 平面向量数量积的应用.
(ii)能力目标:
(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力.
(2) 正确运用向量运算律进行推理、运算.
教学重点: 1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.
2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.
教学难点: 平面向量数量积的综合应用.
 教学过程:
一、追溯
(内积)的定义:已知两个非零向量与,它们的夹角是θ,则数量||||cosq叫与的数量积,记作×,即× = ||||cosq,并规定与任何向量的数量积为0
:数量积×等于的长度与在方向上投影||cosq的乘积.
、为两个非零向量,是与同向的单位向量
1°× = × =||cosq; 2°^ Û × = 0
3°当与同向时,× = ||||;当与反向时,× = -||||,特别地× = ||2
4°cosq = ; 5°|×| ≤||||
①交换律: × = × ②数乘结合律:()× =(×) = ×()
③分配律:( + )× = × + ×
①已知两个向量,,则.
②设,则.
③平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、,那么.
④向量垂直的判定两个非零向量,,则.
⑤两向量夹角的余弦 cosq = ().
二、典型例题
1. 平面向量数量积的运算
例题1 已知下列命题:
①; ②; ③; ④
其中正确命题序号是②、④.
点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.
解(1)当时, =或=.
(2)当时, =.
(3)当的夹角为时, =.
变式训练:已知,求
解:=
点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.
例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
解:依题意故选C
学生训练: ①已知,求向量与向量的夹角.
②已知,夹角为,则.
解: ①,故夹角为.
②依题意得.
变式训练:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.
法一解:将两边平方得,
则, .
法二: 数形结合
点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.