文档介绍：学生实验报告
实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级 2013 专业班信计02班
学生姓名学号
开课时间 2015 至 2016 学年第 2 学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室: 数统学院实验时间: 2016年 6月20日
实验项目
名称
一维波动方程的有限差分法
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导教师
曾芳
成绩
是
通过该实验,要求学生掌握求解一维波动方程的有限差分法,并能通过计算机语言编程实现。
考虑如下的初值问题:
(1)
(1)三层显格式。
,编写有限差分法程序。将所写程序放到第四部分。
,分别将时刻的数值解画图显示。
4. 该问题的解析解为,将四个时刻的数值解的误差画图显示,对数值结果进行简单的讨论。
、方法(算法)、步骤
1、三层显格式建立
由于题中,,取,故令网比,,,在内网个点处,利用二阶中心差商得到如下格式:
(2)
略去误差项得到:
(3)
其中,局部截断误差为。
对于初始条件,建立差分格式为:
(4)
对于初始条件,利用中心差商,建立差分格式为:
(5)
对于边界条件,建立差分格式为:
(6)
将差分格式延拓使为内点,代入(3)得到的式子再与(5)联立消去后整理得到:
(7)
综上(3)、(4)、(6)、(7)得到三层显格式如下:(局部截断误差为)
(8)
其中。
(所用软件、硬件等)及实验数据文件
Matlab
三层显格式程序如下:
%一维波动方程,三层显格式求解法
h=;tau=*h;
r=tau/h;N=1/h;M=2/tau;
x=0:h:1;t=0:tau:2;
u=sin(pi*x);%计算t=0时刻的u值
u(1,11)=0;
for j=2:N
u(2,j)=*r^2*u(1,j+1)+(1-r^2)*u(1,j)+*r^2*u(1,j-1);
end
%定义x=0边界上的数值
for k=1:M+1
u(k,1)=0;
end
%定义x=1边界上的数值
for k=1:M+1
u(k,N+1)=0;
end
%迭代计算开始,差分格式
for k=2:M
for j=2:N
u(k+1,j)=r^2*u(k,j+1)+2*(1-r^2)*u(k,j)+r^2*u(k,j-1)-u(k-1,j);
end
end
u(201,:)=zeros(1,11);
%计算k=201行的数值解
u2(201,11)=0;
for j=2:N
u2(201,j)=r^2*u(200,j+1)+2*(1-r^2)*u(200,j)+r^2*u(200,j-1)-u(199,j);
end
u=u+u2;
u=rot90(u,2);%将矩阵u旋转180度赋值于u
%作出图像
[x,t]=meshgrid(0::1,0::2);%划分网格
%作出数值解的函数图像
subplot(2,2,1);
mesh(x,t,u);
ti