文档介绍：定积分在生活中的应用
引言
通过学习了定积分后,我了解到定积分在生活中有很重要的应用。定积分作为大学里很重要的一部分,在生活有广泛的应用;微积分是与应用联系发展起来的,最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律,此后,微积分极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展,而且随着人类知识的不断发展,微积分正指引着人类走向认知的殿堂。
一、定积分的概述
1、定积分的定义
设函数在区间上有界,在中任意插入若干个分点, 把区间分成个小区间:
有且
各个小区间的长度依次为,,…,。在每个小区间上任取一点,作函数与小区间长度的乘积(),并作出和。记,如果不论对怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分),记作,即
==,
其中叫做被积函数,叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限,叫做积分区间。
.
设函数和在上都可积,是常数,则和+都可积,并且
性质1 =;
性质2 =+
=-.
性质3 定积分对于积分区间的可加性
设在区间上可积,且,和都是区间内的点,则不论,和的相对位置如何,都有=+。
性质 4 如果在区间上1,则==。
性质 5 如果在区间上,则。
性质 6 如果在上,,则
性质 7(积分中值定理)如果在上连续,则在上至少存一点使得

1、定理
定理1 微积分基本定理
如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是
==.
定理 2 原函数存在定理
如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.
定理3 牛顿-莱布尼茨公式.
如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,
则
=
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
2、方法
定积分的换元法
假设函数在区间上连续,函数满足条件
(1),;
(2) 在(或)上具有连续导数,且其值域,则有
=,
上面的公式叫做定积分的换元公式.
定积分的分部积分法
根据不定积分的分部积分法,有

简写为
=
或
=.
二、定积分的应用
㈠计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长上的应用
1、利用定积分计算平面图形的面积
(1)设连续函数和满足条件,.求曲线,及直线所围成的平面图形的面积.(如图1)
解法步骤:
第一步:在区间上任取一小区间,并考虑它上面的图形的面积,这块面积可用以为高,以为底的矩形面积近似,于是.
第二步:在区间上将无限求和,得到.
图2
(2)上面所诉方法是以为积分变量进行微元,再求得所围成图形的面积;我们还可以将作为积分变量进行微元,再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形(图2)的面积为:
例1 求由曲线,及两直线,所围成的图形的面积A.
解(1)作出图形,,在上,曲线与的交点为;
(2)取为积分变量,,所围成的图形可以分成两部分;
(3)区间上这一部分的面积和区间上这一部分的面积分别为
,
,
所以,所求图形的面积为
=+
. 例2 求椭圆的面积.
解椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即
利用椭圆的参数方程
应用定积分的换元法,,且当时,时,,于是

用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,例如一个木块的体积,我们可以将此木块作分割划分成许多基本的小块,每一块的厚度为,假设每一个基本的小块横切面积为,为上连续函数,则此小块的体积大约是,将所有的小块加起来,令,我们可以得到其体积:
。
例2 求由曲线, 直线,,绕轴旋转一周而形成的立体体积.
解先画图形,因为图形绕轴旋转,所以取为积分变量,的变化区间为[1,4],相应于[1,4]上任取一子区间[,+]的小窄条,绕轴旋转而形成的小旋转体体积,可用高为
,底面积为的小圆柱体体积近似代替,
即体积微元为
==,
于是,体积
=
=16
16=12.
求曲线的弧长
(1)设曲线在上有一阶连续导数(如下图),利用微元法,取为积分变量,在上任取小区间,切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度,:
,再对其积分,
则曲线的弧长为:
(2)参数方程表示的函数的弧长计算,:
即
则曲线的弧长为:
例3 (1)求曲线上从0到3一段弧的长度
解由公式= ( )知,弧长为
=====.
(2)求摆线
在上的一段弧的长度().
解取为积分变量,,得