文档介绍：函数的对称性
知识梳理
一、对称性的概念及常见函数的对称性
1、对称性的概念
①函数轴对称:如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称:如果一个函数的图像沿一个点旋转180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)
①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;
⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;
⒁绝对值函数:这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数,它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方,是否仍然具备对称性,这也没有一定的结论,例如就没有对称性,而却仍然是轴对称。
⒂形如的图像是双曲线,其两渐近线分别直线
(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定),对称中心是点。
二、抽象函数的对称性
【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性,我们称其为互对称。】
1、函数图象本身的对称性(自对称问题)
(1)轴对称
①的图象关于直线对称
②的图象关于直线对称.
特别地,函数的图像关于轴对称的充要条件是.
(2)中心对称
①的图象关于点对称
。
②的图象关于点对称.
特别地,函数的图像关于原点对称的充要条件是.
(3)对称性与周期性之间的联系
①若函数既关于直线对称,又关于直线对称,则函数关于无数条直线对称,相邻对称轴的距离为;且函数为周期函数,周期;
特别地:若是偶函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数;
②若函数既关于点对称,又关于点对称,则函数关于无数个点对称,相邻对称中心的距离为;且函数为周期函数,周期;
③若函数既关于直线对称,又关于点对称,则函数关于无数个点和直线对称,相邻对称轴和中心的距离为,相邻对称轴或中心的距离为;且函数为周期函数,周期。
特别地:若是奇函数,其图像又关于直线对称,则是周期为的周期函数。
典例精讲
关于直线对称
例1. (★★)已知二次函数满足条件且方程有等根,则= .
例2.(★★)已知函数对一切实数x满足条件,已知时,,
求时的解析式.
巩固练****自对称)
1.(★★)已知函数定义域为,且对于任意实数满足,当时,,则.
2. (★★)设是定义在上以为周期的函数,在内单调递减,
且的图像关于直线对称,则下面正确的结论是( )
3. (★★)设函数是定义在上的偶函数,它的图象关于直线对称,已知时,,求时,的解析式.
例3. (★★)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则
A. B.
C. D.
例4. (★★)已知函数,函数与的图像关于轴对称,求函数在区间上的最值.
巩固练****br/>1.(★★)若函数图像与函数的图像关于直线对称,则_;
,函数的图像与的图像关于直线对称,而函数的图像与的图像关于轴对称,若,则的值是( )
.; .; .; ..
,则的解析式为