文档介绍：弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
·
一、思考
圆是中心对称图形,
它的对称中心是圆心.
圆有旋转不变性
·
圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
O
B
A
二、概念
∠AOB为圆心角
如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?
根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′,OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合.
·
O
A
B
探究
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
三、
因此, 重合,AB与A′B′重合.
与
AB
⌒
A′B′
⌒
AB
⌒
A′B′
⌒
=
同样,还可以得到:
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_____, 所对的弦________;
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角______,所对的弧_________.
这样,我们就得到下面的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
相等
相等
相等
相等
同圆或等圆中,
两个圆心角、两
条弧、两条弦中
有一组量相等,
它们所对应的其
余各组量也相
等.
四、定理
·
O
A
B
A′
B′
∵∠AOB=∠A`OB`
AB
⌒
A′B′,
⌒
=
∴
·
O
A
B
A′
B′
圆心角定理及推广定理:
同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、
两条弦中如果有一组量相等,它们所
对应的其余各组量也相等。
即:同圆或等圆中
⌒⌒
AB=A′B′
∠AOB=∠A′OB′
知
1
得
2
,AB、CD是⊙O的两条弦.
(1)如果AB=CD,那么___________,_________________.
(2)如果,那么____________,______________.
(3)如果∠AOB=∠COD,那么_____________,____________.
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
六、练****br/>AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
⌒
⌒
AB=CD
⌒
⌒
证明:∵
∴ AB=AC, △ABC等腰三角形.
又∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA.
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
·
A
B
C
O
五、例题
例1 如图在⊙O中, ,∠ACB=60°,求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
AB=AC
⌒
⌒
AB=AC
⌒
⌒
,AB、CD是⊙O的两条弦.
(4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与OF相等吗?为什么?
·
C
A
B
D
E
F
O
相等
因为AB=CD ,所以∠AOB=∠COD.
又因为AO=CO,BO=DO,
所以△AOB≌△COD.
又因为OE 、OF是AB与CD对应边上的高,
所以 OE = OF.
六、练****br/>解:
,AB是⊙O的直径, ∠COD=35°,
求∠AOE的度数.
·
A
O
B
C
D
E
解:
,
BC=CD=DE
⌒
⌒
⌒
BC=CD=DE
⌒
⌒
⌒
∵