文档介绍：考纲指要:
函数是整个高中数学的重点,其中函数思想是最重要的数学思想方法,通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果。
考点扫描:
,构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
2. 函数性质:(1)奇偶性;(2单调性;(3)最值;(4)周期性。
:正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
:图象变换规则,如:平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等;结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
:以基本初等函数为载体,通过它们的性质(单调性、极值和最值等)来解释生活现象,主要涉及经济、环保、能源、健康等社会现象。
考题先知:
定义域为R的函数,若,则关于的方程
,的不同实根共有( )个。 A. 4
解析: 方程可化为或。而的图象大致如图1所示,
y
x
1
2
3
O
由图可知,直线与的图象有3个交点,直线与的图象有4个交点,即方程有3个实根,方程有4个实根,从而原方程共有7个实根,故答案选C。
,则这样的函数个数共有( )
1个(B)4个(C)8个(D) 10个
分析:这是一个从集合A到集合A的函数,由于集合A中的元素仅有三个,情况比较简单,通过列举便可解决此题。
解:若,则一定满足,这样的函数个数有3个;
若,则一定满足,类似的函数个数有个;
若,则一定满足,这样的函数个数有1个,综上所述,共有10个,故选D。
点评:将上述问题推广为:设,函数,则满足的函数共有多少个?
解:令,则有,即有,在的作用下函数是自身。
(1)当t只取一个数时,不妨设此元素为,那么其它元素的函数值也只能是,故此时满足条件的函数只能有一个,由于元素的不同选择有n种,所以此类满足条件的函数共n个。
(2)当t恰好取2个数时,不妨设这两个元素为,那么其它元素的函数值就只能取或,其它元素有n-2个,由乘法原理满足条件的函数共有个,又因为的选择有种,故此类满足条件的函数共有个。
同理,当t恰取3个数时,满足重要任务的函数共有个。
当t恰取n个数时,满足条件的函数共有个。
综上所述,满足条件的函数共有个。
复****智略:
例3。已知函数。
(Ⅰ)是否存在实数、,使得函数的定义域与值域都是,若存在,求出、的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)若存在实数、,使得函数的定义域,值域为,求实数的取值范围
解析:(Ⅰ)假设存在实数、,使得函数的定义域与值域都为,因为,所以。又因为,故,此时
当时,在上是减函数,故可得矛盾,此时实数、不存在;
当时,在上是增函数,故,可得、是方程的根,该方程无解,故此时实数、也不存在;
当且时,显然,则,矛盾,所以此时实数、也不存在;
综上知,适合条件的、不存在。
(Ⅱ)因为,而,所以,则由,知。仿(Ⅰ)可知,当以及当且时,都不符合要求;
当时,由可得、是方程不小于的两个相异实根,由实根分布知识可得,从而实数的取值