文档介绍：导学目标: 、、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
自主梳理
公理1:如果一条直线上的________在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
公理2:过______________的三点,有且只有一个平面.
公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有________过该点的公共直线.
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的____________叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围:______________.
、______、________三种情况.
、______两种情况.
平行于______________的两条直线互相平行.
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角____________.
自我检测
1.(2011·泉州月考)若直线a与b是异面直线,直线b与c是异面直线,则直线a与c的位置关系是( )
、相交或异面
,b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( )
,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )
4.(2010·全国Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
° °
° °
:
①空间不同三点确定一个平面;
②有三个公共点的两个平面必重合;
③空间两两相交的三条直线确定一个平面;
④三角形是平面图形;
⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;
⑥垂直于同一直线的两直线平行;
⑦一条直线和两平行线中的一条相交,也必和另一条相交;
⑧两组对边相等的四边形是平行四边形.
其中正确的命题是________.(填序号)
探究点一平面的基本性质
例1
如图所示,空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.
(1)求AH∶HD;
(2)求证:EH、FG、BD三线共点.
变式迁移1
如图,E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点,且EH与FG相交于点O.
求证:B、D、O三点共线.
探究点二异面直线所成的角
例2 (2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,1所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
变式迁移2 (2011·淮南月考)在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角.
转化与化归思想的应用
例
(12分)如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
多角度审题对(1)只需求出高PO,易得体积;对(2)可利用定义,过E点作PA的平行线,构造三角形再求解.
【答题模板】
解(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PO⊥平面ABCD,
∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,即∠PBO=60°,[2分]
在Rt△AOB中,∵BO=AB·sin 30°=1,又PO⊥OB,∴PO=BO·tan 60°=,
∵底面菱形的面积S=2××2×2×=2,
∴四棱锥P—ABCD的体积VP—ABCD=×2×=2.[6分]
(2)
取AB的中点F,连接EF,DF,
∵E为PB中点,∴EF∥PA,
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).[8分]
在Rt△AOB中,
AO=AB·cos 30°=,
∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.
在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=,
由余弦定理得cos∠DEF=[10分]
===.
所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.[12分]
【突破思维障碍】
求两条