文档介绍：一、知识梳理
文字叙述:平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于),两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
数学语言:集合,其中,,,,为常数,则集合表示以,为焦点的椭圆.
注意:(1)注意椭圆定义中的限制条件:当时,点的轨迹为线段;当时,点的轨迹不存在(或不表示任何图形).
(1),焦点在轴上;
(2),焦点在轴上.
椭圆的标准参数方程:的参数方程为(一象限应是属于).
注意:(1)参数关系:,,中最大.
(2)判断焦点位置的方法:
①椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大;
②椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大.
,其焦点位置有如下规律:当时,焦点在轴上;当时,焦点在轴上.
注意:在求椭圆的标准方程时,有时不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的标准方程为,不必考虑焦点位置,:求焦点在坐标轴上,且经过和两点的椭圆的标准方程
.
4、椭圆的小知识点
、通径::和
、共离心率的椭圆系的方程:椭圆的离心率是,方程是大于0的参数,的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
若P是椭圆:,若,则的面积为(用余弦定理与可得). 若是双曲线,则面积为.
(1)椭圆的两个焦点总在它的长轴上.
(2)离心率的大小对椭圆形状的影响:
∵.
∴当趋近于1时,变小且越接近于,椭圆越扁平;当趋近于时,变大且越接近于1,椭圆越接近圆.
二典型例题讲解
【例1】(2004年福建,3)命题p:若a、b∈R,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件;命题q:函数y=的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞),则
A.“p或q”为假 B.“p且q”为真
C. p真q假 D. p假q真
剖析:只需弄清命题p、q的真假即可.
解:∵|a+b|≤|a|+|b|,若|a|+|b|>1不能推出|a+b|>1,
而|a+b|>1一定有|a|+|b|>1,故命题p为假.
又函数y=的定义域为|x-1|-2≥0,∴|x-1|≥2.
∴x≤-1或x≥3.∴q为真.
答案:D
三、课堂练****br/>(1)基础训练
1. 已知椭圆C的焦点是F1(-,0)、F2(,0),点F1到相应的准线的距离为,过F2点且倾斜角为锐角的直线l与椭圆C交于A、B两点,使得|F2B|=3|F2A|.
(1)求椭圆C的方程;(2)求直线l的方程.
解:(1)依题意,椭圆中心为O(0,0),
点F1到相应准线的距离为,
a2=b2+c2=1+3=4
∴所求椭圆方程为
(2)设椭圆的右准线与l交于点P,作AM⊥,AN⊥,垂足
分别为M、N. 由椭圆第二定义,
得
同理|BF2|=e|BN|
由Rt△PAM~Rt△PBN,得…9分
的斜率.
∴直线l的方程
2. 已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值,且的最小值为.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)若已知,、在动点的轨迹上且,求实数的取值范围.
解:(1)由已知可得: ,
∴
∴所求的椭圆方程为.
3. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
答:)
4. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__
(答:)
5. 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______
(答:(-,-1));
6. 直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是______
(答:[1,5)∪(5,+∞)).
(2)培养能力
7. 求椭圆上的点到直线的最短距离
(答:).
8. 中心在原点,焦点在坐标为(0,±5)的椭圆被直线3x-y-2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为( )
|
解析:将直线方程变为x=3-2y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,
得(3-2y)2+y2+(3-2y)+m=0.
整理得5y2-20y+12+m=0,设P(x1,y1)、Q(x2,y2)
则y1y2=,y1+y2=4.
又∵P、Q在直线x=3-2y上,
∴x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4y1y2-6(y1+y2)+9
故y1y2+x1x2=5y1y2-6(y1+y2)+9=m-3=0,故m=3.
答案:A
(3)探究创新
9. (1)抛物线C:y2 =4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2 =4