文档介绍：鸡兔同笼问题
例1:小梅数她家的鸡与兔,数头有16个,数脚有44只。问:小梅家的鸡与兔各有多少只?
分析:假设16只都是鸡,那么就应该有2×16=32(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情况多了44-32=12(只)脚,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔的只数。
解:有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只),
有鸡16-6=10(只)。
答:有6只兔,10只鸡。
当然,我们也可以假设16只都是兔子,那么就应该有4×16=64(只)脚,但实际上有44只脚,比假设的情况少了64-44=20(只)脚,这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不变,脚数减少了4-2=2(只)。因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数。
有鸡(4×16-44)÷(4-2)=10(只),
有兔16-10=6(只)。
由例1看出,解答鸡兔同笼问题通常采用假设法,可以先假设都是鸡,然后以兔换鸡;也可以先假设都是兔,然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2:100个和尚140个馒头,大和尚1人分3个馒头,小和尚1人分1个馍馒头。问:大、小和尚各有多少人?
分析与解:本题由中国古算名题“百僧分馒头问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔,馒头看作腿,那么就成了鸡兔同笼问题,可以用假设法来解。
假设100人全是大和尚,那么共需馒头300个,比实际多300-140=160(个)。现在以小和尚去换大和尚,每换一个总人数不变,而馒头就要减少3-1=2(个),因为160÷2=80,故小和尚有80人,大和尚有
100-80=20(人)。
同样,也可以假设100人都是小和尚,同学们不妨自己试试。
在下面的例题中,我们只给出一种假设方法。
例3:彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,这两种文化用品共买了16套,用钱280元。问:两种文化用品各买了多少套?
分析与解:我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚,一种“怪兔”有1个头19只脚,它们共有16个头,280只脚。这样,就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品,则共需19×16=304(元),比实际多304-280=24(元),现在用普通文化用品去换彩色文化用品,每换一套少用19-11=8(元),所以
买普通文化用品 24÷8=3(套),
买彩色文化用品 16-3=13(套)。
例4:鸡、兔共100只,鸡脚比兔脚多20只。问:鸡、兔各多少只?
分析:假设100只都是鸡,没有兔,那么就有鸡脚200只,而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只,而实际上只多20只,这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200-20=180(只)。
现在以兔换鸡,每换一只,鸡脚减少2只,兔脚增加4只,即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4+2=6(只),而180÷6=30,因此有兔子30只,鸡100-30=70(只)。
解:有兔(2×100-20)÷(2+4)=30(只),
有鸡100-30=70(只)。
答:有鸡70只,兔30只。
例5:现有大、小油瓶共50个,每个大瓶可装油4千克,每个小瓶可装油2千克,大瓶比小瓶共多装2