文档介绍：1、已知抛物线,过焦点的动直线交抛物线于两点,抛物线在两点处的切线相交于点.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求点的纵坐标;(Ⅲ)证明:.
2、已知抛物线,直线与C交于A,B两点,O为坐标原点｡
(1)当,且直线过抛物线C的焦点时,求的值;
(2)当直线OA,OB的倾斜角之和为45°时,求,之间满足的关系式,并证明直线过定点｡
3、已知动点到点的距离,等于它到直线的距离.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点任意作互相垂直的两条直线,,的中点分别为,求证:直线恒过一个定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求面积的最小值.
4、已知,动点到定点的距离比到定直线的距离小.
(I)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设是轨迹上异于原点的两个不同点,,求面积的最小值;
(Ⅲ)在轨迹上是否存在两点关于直线对称?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由.
5、设点,.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)过点作互相垂直的直线,分别交曲线于和. 求四边形面积的最小值.
6、已知抛物线的焦点为F,A、B是抛物线上两动点,且过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M｡
(1)证明:为定值;(2)设的面积为S,写出的表达式,并求S的最小值
1、(Ⅰ)解:,又依题意直线不与轴垂直, ∴设直线的方程为.
由可得. 设, 则.
∴.
(Ⅱ)解:由,可得,∴. ∴抛物线在两点处的切线的斜率分别为.
∴在点处的切线方程为,即. .
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)可知, ,∴.
又==
∴.
2、解:(1)抛物线的焦点为(1,0) 由已知=,设,,
联立,消得, 所以,
(2)联立,消得(*)(依题意≠0) ,,,
设直线OA,OB的倾斜角分别为α,β,斜率分别为,,则α+β=45°, ,
其中,,代入上式整理得所以,即,
此时,使(*)式有解的,有无数组直线的方程为,整理得
消去,即时恒成立, 所以直线过定点(-4,4)
3、解:(Ⅰ)设动点的坐标为, 由题意得,, 化简得, 所以点的轨迹
的方程为(Ⅱ)设两点坐标分别为,,则点的坐标为.
由题意可设直线的方程为, 由得.
. 因为直线与曲线于两点,所以,. 所以点的坐标为.
由题知,直线的斜率为,同理可得点的坐标为.
当时,有,此时直线的斜率.
所以,直线的方程为, 整理得.
于是,直线恒过定点; 当时,直线的方程为,也过点.
综上所述,直线恒过定点(Ⅲ)可求的, 所以面积
.当且仅当时,“”成立,所以面积的最小值为
4、解:(Ⅰ)∵动点到定点与到定直线的距离相等∴点的轨迹为抛物线,轨迹的方程为: (Ⅱ)设∵∴
∵∴∴
= =
= ∴当且仅当时取等号,面积最小值为(Ⅲ)设关于直线对称,且中点
∵在轨迹上∴
两式相减得: ∴
∴∵在上
∴,点在抛物线外∴在轨迹上不存在两点关于直线对称
5、(Ⅰ)解:过点作垂直直线于点依题意得,
所以动点的轨迹为是以为焦点,直线为准线的抛物线,即曲线的方程是
(Ⅱ)解:依题意,直线的斜率存在且不为,
设直线的方程为, 由得的方程为.
将代入化简得.
设则
同理可得四边形的面积
当且仅当即时,故四