文档介绍：积分变换
Fourier变换
Recall:
周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数;
但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示;
引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
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1
§1 Fourier积分公式
Recall:
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间
变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复
多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
t
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2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有
的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的
线性组合来逼近.—— Fourier级数
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
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3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
是以T为周期的函数,在
上满足
Dirichlet条件:
连续或只有有限个第一类间断点;
只有有限个极值点;
可展开成Fourier级数,且在连续点t处成立:
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4
引进复数形式:
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5
级数化为:
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6
合并为:
级数化为:
若以描述某种信号,
则可以刻画的特征频率。
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7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期
函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于
f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T
越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T
时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
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8
例矩形脉冲函数为
如图所示:
1
-1
O
t
f (t)
1
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9
1
-1
3
T=4
f4(t)
t
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),
令T=4, 则
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