文档介绍：第 1 章随机事件及其概率
m!
P n = 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m (m − n)!
(1)排列
组合公式
m!
C n = 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
m n!(m − n)!
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n
(2)加法
种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。
和乘法原
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
理
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由 n
种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序)
(3)一些
对立事件(至少有一个)
常见排列
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,
(4)随机
但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试
试验和随
验。
机事件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
(5)基本②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
事件、样本这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。
空间和事基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。
件一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母
A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。
Ω为必然事件,Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系:
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分,(A 发生必有事件 B 发生):
A ⊂ B
如果同时有 A ⊂ B , B ⊃ A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B:
A=B。
(6)事件
A、B 中至少有一个发生的事件:A ∪ B,或者 A+B。
的关系与
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A与B的差,记为 A-B,也可
运算
表示为 A-AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生:AB∩∩,或者 AB。A B=Ø,则表示 A 与 B 不可能同时发生,
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
Ω-A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A 。它表示 A 不发生
的事件。互斥未必对立。
②运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
∞∞
∩ Ai = ∪ Ai
德摩根率: i=1 i=1 A ∪ B = A ∩ B , A ∩ B = A ∪ B
设Ω为样本空间,A 为事件,对每一个事件A 都有一个实数 P(A),若
满足下列三个条件:
1° 0≤P(A)≤1,
2° P(Ω) =1
(7)概率
3° 对于两两互不相容的事件A1 ,A2 ,…有
的公理化⎛∞⎞∞
定义 P⎜∪ Ai ⎟= ∑ P(Ai)
⎝ i=1 ⎠ i=1
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件A 的概率。
1° Ω= {}ω1 ,ω 2
ω n ,
1
2° P(ω) = P(ω) =
P(ω) = 。
1 2 n n
A
(8)古典设任一事件,它是由ω1 ,ω 2
ω m 组成的,则有
概型
P(A)={}(ω1 ) ∪(ω 2 ) ∪
∪(ω m ) = P(ω1 ) + P(ω 2 ) +
+ P(ω m )
m A所包含的基本事件数
= =
n 基本事件总数
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空
间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何
(9)几何概型。对任一事件 A,
概型
L(A)
P(A) = 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
L(Ω)
(10)加法 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
公式当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(1