文档介绍：高中数学教与学生
三次函数图象特征及其应用
成开华
江苏省兴化中学,
由于三次函数的导函数是二次函数,而
二次函数的性质是大家所熟知的,因此随着
中学阶段导数知识的引入,三次函数在中学
数学问题中就常常碰到,在高考试题中也经
.△≤,

次函数的图象特征作一简单介绍,供参考.
一
、三次函数上≠
的图象
函数Ⅱ≠的
导函数,.方程.△≤.
的判别式△△时,方程
厂:有两根图
一一、/一。
————一
, .对称性
函数厂≠图
一一
——■一‘象是中心对称图形,图象的对称中心是
函数厂有如下主要性质: 一,一.
.单调性
分析要证明,的图象是关于点
. 当时,若△≤,则: 在上
,的中心对称图形,只要证明存在实数
是增函数,若△,则函数在一,。
,,使得厂一的图象是以点,
与, 上单调递增,在。, 上单调
为对称中心的对称图形,即证明厂
递减;
一是奇函数.
当口时,若△≤,则在上是减
设一是奇函数,则
函数;若,则在一, 与,,
,一凡一一,扎一,
∞上单调递减,在,。上单调递增.
移项、化简、整理,得
.极值
’—
若≤,则函数厂不存在极大值
.
和极小值;
由于此式对任意的恒成立,
若△,则函数厂有极大值。
. . ,
、极小值厂.
。.
以上两个性质的图象特征为如图.
即一
一一
上, \,,,
· ·
第期高中数学教与学
分析本题就是求一组,值使’,:
所以, 一一一是奇函数, 为奇函数,即使的图象关于原
函数≠图象是中点对称,我们可以根据奇函数的定义一
心对称图形,对称中心是一一· 一,通过比较系数求出,,但在这里,
我们可以根据三次函数的图象性质,结合平
推论:. 厂图象的对称中心在导函
移知识,只要找出一一对称中
数图象的对称轴上,若其有两个极
心即可.
值点,对称中心为两个极值点的中点.
解设一~,贝
.切线
由三次函数图象的对称特征可知,
函数。≠图象
图象的对称中心为,,义因为厂的
以其上某一点为切点的切线与图象不一定只
图象是由的图象是沿向量,
有一个交点,还有可能有两个交点.
平移得到的,而厂是奇函数,即
为说明这一点,我们先来复****一下切线
的图象的对称中心是,,所以
的定义:设为曲线上不同于点的一点,
,,,一,:一,
这时,
, 一. 一.
曲线向点运动,割线在点附近越来
例过曲线上一点,作
越逼近曲线,当点无限逼近点时,直线
曲线的切线,求此切线方程.
最终成为在点处最逼近曲线的直线,这
过曲线—上一点,作

曲线的切线,求此切线方程.
位置一条割线与三次函数曲线通常有三个交
分析处理切线问题常从切点开始,故
点如图,当其中一个交点沿曲线向另一个
本题从设切点坐标,给切线方程人手.
交点逼近时,第三个交点在变化过程中通常
解设切点为,:,切线的