文档介绍：前面的线性规划问题,研究的都是只有一个目标函数,,衡量一个方案的好坏标准往往不止一个,而且这些标准之间往往不协调,甚至是相互冲突的,,在资源的最优利用问题中,除了考虑所得的利润最大,还要考虑使生产的产品质量好,劳动生产率高,(goal programming)正是在线性规划的基础上为适应这种复杂的多目标最优决策的需要,,然后按目标的重要程度(级别)依次进行考虑与计算,,它也能指出目标值不能实现的程度以及原因,以供决策者参考.
第一节目标规划的基本概念与数学模型
一、问题的提出
例4-1 某生物药厂需在市场上采购某种原料,现市场上有甲、乙两个等级,单价分别为2千元/kg和1千元/kg,要求采购的总费用不得超过20万元,购得原料的总重量不少于100kg,而甲级原料又不得少于50kg,问如何确定最好的采购方案(即用最少的钱、采购最多数量的原料).
分析:这是一个含有两个目标的数学规划问题. 设分别为采购甲级、乙级原材料的数量(单位:kg),为花掉的资金,:
目标函数为:
约束条件有:
若只考虑花钱最少,则显然属于线性规划问题,由(4-1),(4-3)至(4-6)构成它的数学模型;若只考虑采购数量最多,也是一个线性规划问题,由式(4-2)至(4-6)构成它的数学模型,.
例4-2 某工厂在计划期内要生产甲、乙两种产品,现有的资源及两种产品的技术消耗定额、单位利润如表4-,使利润最大,同时厂领导为适应市场需求,尽可能扩大甲产品的生产,减少乙产品的生产,同时考虑这些问题,就形成多目标规划问题.
表4-1 产品的资源、技术消耗定额、单位利润表
甲(每件)
乙(每件)
现有资源
钢材(kg)
4
3600
木材(m3)
4
5
2000
设备负荷(台小时)
3
10
3000
单位产品利润(元)
70
120
分析:设分别是计划期内甲、
对于这样的多目标问题,:第一个方案使第一目标的结果优于第二方案,而对于第二目标,,特别当约束条件中有矛盾方程时,,人们转而采取“不求最好,但求满意”的策略,在线性规划的基础上建立一种新的数学规划方法——目标规划.
二、目标规划的基本概念
我们不难得出多目标规划问题的一般形式如下(简记为:GP1)
(4-7)
(4-8)
矩阵表示为: (4-9)
其他情况:如目标函数为, 约束条件为“”,都可作适当的变换,调整为(4-9)(4-9)式为目标规划的标准型.
定义4-1 设, 称为多目标线性规划问题(简记为GP1)的可行解集合或可行解域.
这个定义与线性规划问题中可行解集定义完全一样,因此,是一个凸集.
定义4-2 设问题(GP1)的可行解集合非空,,且对任意的都有,则称为问题(GP1)的最优可行解,简称最优解.
最优解实际上是使所有目标同时达到最优值,如图4—1所示
图4-1 目标规划解集示意图
但更多的情况是:由于多目标之间存在相互矛盾,最优解往往不可能存在,这就要求我们退而求其次,根据目标之间的相对重要程度,分等级和权重,求出相对最优解——有效解(满意解),为此引入以下概念,对目标函数和约束条件作适当处理.
决策变量与偏差变量
决策变量也称控制变量,用x1、x2、…、xn表示,如例4-1中的x1、x2等.
在多目标规划问题中,由于目标之间存在冲突或约束条件中有矛盾方程,我们可以设想降低目标要求、“放松”严格的约束条件,即从实际出发,根据经验、历史资料或市场的需求、上级部门的任务下达等来给每个目标确定一个希望达到的目标值ei, (i =1,2,…,m).一般说来,这些值ei 的确定并不要求十分精确或严格,(deviation variable).用表示.
——第i个目标的实际值超出目标值的部分,称为正偏差变量.
——第i个目标的实际值不足目标值的差距,, (i =1,2,…,m) .
实际操作中,当目标值确定时,所做的决策只可能出现以下三种情