文档介绍：一、填空题
7. 解: 因为|aTbTgT|=35-7m, 当35-7m=0时向量组线性相关, 所以m=5。
8. 解: ®®,若秩为3, 则α¹-1。
9. 解: A®, 若秩为3, 则x¹6。
10. 求α=(6,2,-7)在基a1=(1,0,1), a2=(0,2,0), a3=(0,0,-1)下的坐标。
解: 设α=x1a1+x2a2+x3a3, 由®®x1=6, x2=1, x3=13,所以α=6a1+a2+13a3, 即α在基a1,a2,a3下的坐标为(6,1,13)。
二、选择题
3. 解: 因为AB=O,所以R(A)+R(B)£n。
三、计算题
1. 解: 因为|3|=3¹0, 所以R(A)³1; 因为=-4¹0, 所以R(A)³2;=14¹0,所以R(A)³3; 而|A|=0, 所以R(A)=3。
2. 解: (α1T,α2T,α3T)=®, R(α1,α2)=2, R(α1,α2,α3)=3, R(α1,α2)¹R(α1,α2,α3),不等价。
3. 解: (1)(α1,α2,α3,α4,α5)=®®,向量组的秩为3;
(2)因为秩<5,所以线性相关;
(3)α1,α2,α3为一个极大无关组;
(4) (α1,α2,α3,α4,α5)®®, 所以a4=a1+a2-a3,a5=(a1-a2+a3)。
4. 解: A®®®®, R(A)=4; α1,α2,α3,α4为一个极大无关组。
5. 解:(1)(α1,α2,α3,α4)=®; 向量组的秩为3;
(2)因为秩<4, 所以线性相关; (3)α1,α2,α4为一个极大无关组;
(4) (α1,α2,α3,α4)®, 所以α3= -α1-α2。
6. 解: 施密特正交化。
先正交化: b1=α1=(1,1,-1,-1)T,b2=α2-b1= (1,0,-1,0)T-(1,1,-1,-1)T=(1,-1,-1,1)T。
b3=α3-b1-b2=(1,-1,1,-1)T。
再单位化: β1=(1,1,-1,-1)T, β2=(1,-1,-1,1)T, β3=(1,-1,1,-1)T。
7. 验证a1=(1,0,0), a2=(2,2,0), a3=(3,3,3)为R3的一个基,并求β=(2,-1,3)在此基下的坐标。
解: 因为|A|=6¹0, 所以a1, a2, a3线性无关, 即它是R3的一个基;
设β=x1a1+x2a2+x3a3, 由®®x1=3, x2= -2, x3=1,所以β=3a1-2a2+a3, 即β=(2,-1,3)在此基下的坐标为(3,-2,1)。
8. 设V1={x=(0,x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xnÎR},V2={x=(1,x1,x2,…,xn)T|x1,x2,…,xnÎR },问V1, V2是不是向量空间。
解: 任x=(0,x1,x2,…,xn)T, y=(0,y1,y2,…,yn)TÎV1, k,lÎR. 因为kx+ly=(0, kx1+ly1,kx2+ly2,…,kxn+lyn)TÎV1, 所以V1是向量空间。
又任x=(1,x1,x2,…,xn)T, y=(1,y1,y2,…,yn)TÎV2, x+y=(2, x1+y1, x2+y2,…, xn+yn)TÏV2, 所以V2不是