文档介绍：1、集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性。
2、元素与集合的关系: 、
3、数集的符号:自然数集;正整数集或;整数集;有理数
集;实数集.
4、集合与集合的关系: 、、=
5、若集合中有个元素,则它的子集个数为;真子集个数为;非空子集个数为;非空真子集个数为.
6、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
7、子集的性质:
(1) (即任何一个集合是它本身的子集);
(2)若A B,B C,则A C;
(3)若A B,B C,则A C.
8、集合的基本运算
(1)并集:
(2)交集:
(3)补集:
(4)性质:①, ;②, ;
③, , ,
, .
9、函数的三要素:定义域、值域和对应法则.
10、(一)求函数定义域的原则:
(1)若为整式,则其定义域是;
(2)若为分式,则其定义域是使分母不为0的实数集合;
(3)若是二次根式(偶次根式),则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合;
(4)若,则其定义域是;
(5)若,则其定义域是;
(6)若,则其定义域是.
(二)求函数值域的方法以及分段函数求值
(三)求函数的解析式
11、函数的单调性:
(1)增函数:设( 的定义域),当时,有.
(2)减函数:设( 的定义域),当时,有.
强调四点:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数),有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数根本没有单调区间(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数.
④定义的变形应用:如果证得对任意的,且有或者,能断定函数在区间上是增函数;如果证得对任意的,且有或者,能断定函数在区间上是减函数。
几点说明:函数是增函数还是减函数,,而在另一些区间上不是增函数;函数的单调区间是其定义域的子集;该区间内任意的两个实数,忽略任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数);讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域。
(3)三类函数的单调性:
①一次函数
当时,函数在上是增函数;当时,函数在上是减函数.
②反比例函数
当时,函数在上是减函数;
当时,函数在上是增函数.
③二次函数
时,函数在上是增函数,在上是减函数;
当时,函数在上是减函数,在上是增函数.
(4)证明函数单调性的方法步骤:(i)定义:设值、作差、变形、断号、定论.
即证明函数单调性的一般步骤是:⑴设, 是给定区间内的任意两个值,且< ;⑵作差- ,并将此差式变形(要注意变形的程度);⑶判断- 的正负(要注意说理的充分性);⑷根据- 的符号确定其增减性.
(ii)导数
(5)如何求函数的单调区间
(6)复合函数的单调性:同增异减
(7)函数在上是减函数和函数的单调递减区间是的区别。
12、函数的奇偶性:
(1)奇函数: (2)偶函数:
注意:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性
②由于任意和均要在定义域内,故奇(偶)