文档介绍：【考点解读】
(选修II)高考考核要求为:①导数的概念及某些实际背景,导数的几何意义,几种常见函数的导数;②两个函数的和、差、积、商的导数,复合函数的导数,基本导数公式;③利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值等。
:导数是高中新教材改革后新加进的知识之一,从近几年全国统考试卷及2004年浙江卷看,其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大(12分),一小(5分)的两题格局上(2004年浙江卷是如此),是新教材的一个主要得分点。
:①利用导数求函数的极值;②利用导数求函数的单调区间;③利用导数求函数的最值;④利用导数证明函数的单调性;⑤数在实际中的应用;⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题;⑦导数与解析几何相综合的问题。
基本导数公式
导数的几何意义
导数的概念
两函数和、差、积、商的导数
导数的运算
导数的应用
复合函数的导数
导数
函数的单调性
导数的应用
函数的极值
函数的最值
:①学会优先考虑利用导数求函数的极大(小)值、最大最小或解决应用问题,这些问题是函数内容的继续与延伸,这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题,尤其是抛物线与三次函数的切线问题,是高考中考查综合能力的一个方向,应引起注意。
热点一:导数的几何意义
函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义,就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x
0))处的切线的斜率,也就是说,曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0),于是相应的切线方程为y-y0=f′(x0) (x-x0),巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。
【错题分析】
[错例1] (2004天津卷20(2))曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f (x)的切线,求曲线的切线方程。
误解:f (x)=3x3-3,根据导数的几何去何从意义可知,曲线的切线斜率(0)=-3,所以曲线的切线方程为y=-3x+16。
剖析:本题错在对导数的几何意义理解有误,切线的斜率k是应是在切点处的导数,而点A (0,16) 不在曲线上。故本题应先设切点,再求斜率,写出直线的方程。
正确解法:设切点坐标,则切线的斜率,切线方程,又因为点M在切线上,所以得
【典型题例】
例1:设P0 (x0,y0) 为曲线C : y=x3 (x>0)上任意一点,过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1,过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1,y1),然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2,y2),依此类推,作出以下各点:P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3,…,Pn,Qn+1,…,已知x0=9,设Pn (xn,yn) (n∈N)。
(1)求出过点P0的切线方程。
(2)设xn=f (n) (n∈N),求f (n)的表达式;
(3)求的值。
点拨本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数
解析(1)y′=3x2,∵P0 (9,93),∴切线P0Q1的斜率,
∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y-93=243 (x-9),即243x-y-1458=0.
(2)过Pn (xn,yn)的切线的斜率为kn=3x,切线方程为y-yn=kn(x-xn),
即y-x=3x (x-xn). 令y=0得
x=xn-=x,即Qn+1的横坐标为xn,
又∵直线Qn+1Pn+1∥y轴,∴P n+1的横坐标xn+1=xn,由于x0=9,∴数列是公比为的等比数列∴xn=x0 · ()n=9×()n,则f (n) = 9×()n,(n∈N)
(3)==27
点评:求切线方程关键在于切点,因为切点不仅是直线上的一个点,而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。
【热点冲刺】
=sinx,x在P点切线平行于直线x-2y=0,则P点坐标为。
>0,f (x) =ax2+bx+c,曲线y=f (x)在点P (x,f (x0))切线倾角为[0,],则P到y=f (x)对称轴距离为( B )
A、[0,] B、[0,] C、[0,||] D、[0,||]
3.(预测题) (1990日本高考题).设抛物线y=x2与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处切线分别为l1,l2,求值a变化时l1与l2交点的轨迹。
解答:将y=x+a代入y=x2整数得x2-x-a=0
为使直线与抛物线有两个不同的交点,必须△= (-1)2+4a>0,所以a>-
设此两交点为(α,α2),(β, β2),α<β