文档介绍：湖南省长沙市望城区白箬中学高三数学第二轮专题讲座复习:关于求空间的角的问题
高考要求
空间的角是空间图形的一个要素,在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上,较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想
重难点归纳
空间角的计算步骤一作、二证、三算
1 异面直线所成的角范围 0°<θ≤90°
方法①平移法;②补形法
2 直线与平面所成的角范围 0°≤θ≤90°
方法关键是作垂线,找射影
3 二面角
方法①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法
注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果
:
⑴异面直线所成的角:;
⑵直线与平面(法向量)所成的角:;
⑶锐二面角:,其中为两个面的法向量。
典型题例示范讲解
例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中,E、F分别是BC、A′D′的中点
(1)求证四边形B′EDF是菱形;
(2)求直线A′C与DE所成的角;
(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角;
(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角
命题意图本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法,综合性较强
知识依托平移法求异面直线所成的角,利用三垂线定理求作二面角的平面角
错解分析对于第(1)问,若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的,因为存在着四边相等的空间四边形,必须证明B′、E、D、F四点共面
技巧与方法求线面角关键是作垂线,找射影,求异面直线所成的角采用平移法求二面角的大小也可应用面积射影法
(1)证明如上图所示,由勾股定理,得B′E=ED=DF=FB′=a,下证B′、E、D、F四点共面,取AD中点G,连结A′G、EG,由EGABA′B′知,B′EGA′是平行四边形∴B′E∥A′G,又A′F DG,∴A′GDF为平行四边形
∴A′G∥FD,∴B′、E、D、F四点共面故四边形B′EDF是菱形
(2)解如图所示,在平面ABCD内,过C作CP∥DE,交直线AD于P,则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角
在△A′CP中,
易得A′C=a,CP=DE=a,A′P=a
由余弦定理得cosA′CP=
故A′os
另法(向量法) 如图建立坐标系,则
故A′os
(3)解∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示
又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线,
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′
在Rt△B′AD中,AD=a,AB′=a,B′D=a
则cosADB′=故AD与平面B′os
另法(向量法)
∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上如下图所示
又∵B′EDF为菱形,∴DB′为∠EDF的平分线,
故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′,
如图建立坐标系,则
,故AD与平面B′os
(4)解如图,连结EF、B′D,交于O点,显然O为B′D的中点,从而O为正方形ABCD—A′B′C′D的中心
作OH⊥平面ABCD,则H为正方形ABCD的中心,
再作HM⊥DE,垂足为M,连结OM,则OM⊥DE,