文档介绍：高等数学中求极限的方法小结
利用等价无穷小求极限
#这种方法的理论基础主要包括:(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时,分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]
设、且;则:与是等价无穷小的充分必要条件为:.
常用等价无穷小:当变量时,
.
例1 求.
解,
故,原式
例2 求.
解,因此:
原式.
例3 求.
解,故:原式=.
例4 求.
解,故:
原式.
例5 试确定常数与,使得当时,与为等价无穷小.
解而左边,
故即.
利用洛必达法则求极限
#利用这一法则的前提是:函数的导数要存在;为0比0型或者型等未定式类型.
洛必达法则分为3种情况:(1)0比0,无穷比无穷的时候直接用.(2)0乘以无穷,无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后,就能变成(1)中形式了.(3)0的0次方,1的无穷次方,无穷的0次方,对于(指数,幂函数)形式的方法主要是取指数的方法,这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了,就是写成0与无穷的形式了.
洛必达法则中还有一个定理:当时,函数及都趋于0;在点的某去心邻域内,﹑的导数都存在且的导数不等于0;存在,那么. [1]
求极限有很多种方法如洛必达法则,夹逼定理求极限的秘诀是:强行代入,先定型后定法. [3]
例6 求.
分析秘诀强行代入,先定型后定法.
(此为强行代入以定型).
可能是比高阶的无穷小,倘若不这样,或或.
解
,
由洛必达法则的.
例7 求.
解.
例8 求.
解原式.(二次使用洛必达法则).
例9 求.
解原式.
例10 求.
解原式原式=.
例11 求.
解原式.
例12 求.
解原式.
例13 求.
解原式
“”型:
例14 求.
解原式.
“”型:
例15 求.
解,
故原式.
“”型:
例16 求.
解原式.
“”型:
例17 求.
解原式.
“”型:
例18 求.
解原式,
而,因此:原式=1.
泰勒公式
(含有的次方的时候,尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意)
泰勒中值定理定理:如果函数在含有的某个开区间内具有直到
阶的导数,则对任一,有
+(-)+(-)+……+(-)+()
其中,这里是与之间的某个值. [1]
例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式,求极限.
解由于公式的分母,我们只需将分子中的
代入计算,
于是,对上式做运算时,把两个高阶的无穷小的代数和还是记作.
例20 ,
,
.
无穷小与有界函数的处理方法
面对复杂函数,尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候,一定要注意这个方法.[3]
例21 求.
解原式.
夹逼定理
主要介绍的是如何用之求数列极限,这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式,对之放缩或扩大.[1]
例22 求.
解,
,
,
根据夹逼定理.
等比等差数列公式(的绝对值要小于) [1]
例23 设,证等比数列1,,,…的极限为0.
证任取,为使,而,使,即,
当,当时,即,
即,
由定义知
.
因此,很显然有:
.
各项以拆分相加[3]
将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数,主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.
例24 求.
解原式
=.
求左右极限的方式
例25 求函数,求时,的极限.
解,,
因为,所以,当时,的极限不存在.
例26 .
解,,
因为,所以,原式=0.
应用两个重要极限
,
例27 求.
解记,则
原式= .
例28 求.
解原式==.
例29 求.
解原式==.
根据增长速度
例30 求.
解原式==.
例31 求.
解.
同函数趋近于无穷的速度是不一样的,的次方快于(的阶乘)快于指数函数,快于幂函数,快于对数函数.
所以增长速度: .
故以后上述结论可直接在极限计算中运用.
换元法
例32 .
解令,
则原式==
利用极限的运算法则[1]
利用如下的极限运算法则来求极限:
如果
那么
若又有,则
(2)如果存在,而为常数,则
(3)如果存在,而为正整数,则
(4)如果,而,则
(5)设有数列和,如果
那么,
当且时,
求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]