文档介绍：一、内容提要:
立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面,证明位置关系、求距离和求角;具体内容见下表:
立
体
几
何
提要
主要内容
重点内容
位置关系
两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、两个平面相互垂直
两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂直、两个平面相互垂直
距离
两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离
两条异面直线的距离、点到平面的距离
角度
两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角
两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角
二、主要解题方法:
(一)位置关系
1、两条异面直线相互垂直
证明方法:证明两条异面直线所成角为90º;证明两条异面直线的方向量相互垂直
2、直线和平面相互平行
证明方法:证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行;证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
3、直线和平面垂直
证明方法:证明直线和平面内两条相交直线都垂直,证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直;证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
4、平面和平面相互垂直
证明方法:证明这两个平面所成二面角的平面角为90º;证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面;证明两个平面的法向量相互垂直。
(二)求距离
求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
1、两条异面直线的距离
求法:如果知道两条异面直线的公垂线,那么就转化成求公垂线段的长度,线段长度的求法也可以用向量来帮助解决,求线段AB的长度,可以利用
来帮助解决,但是前提条件是我们要知道
的模和每两个向量所成的角。利用公式(其中A、B分别为两条异面直线上的一点,为这两条异面直线的法向量)
2、点到平面的距离
求法:“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。等体积法。向量法,利用公式(其中A为已知点,B为这个平面内的任意一点,这个平面的法向量)
(三)求角
1、两条异面直线所成的角
求法:先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通过解三角形去求得;通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异面直线所成角得范围是,向量所成的角范围是,如果求出的是钝角,要注意转化成相应的锐角。
2、直线和平面所成的角
求法:“一找二证三求”,三步都必须要清楚地写出来。向量法,先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α,那么所要求的角为或
3、平面与平面所成的角
求法:“一找二证三求”,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。通过射影面积来求(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面的射影,那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα,注意到我们要求的角为α或π-α);向量法,先求两个平面的法向量所成的角为α,那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π-α。
我们现在来解决立体几何的有关问题的时候,注意到向量知识的应用,如