文档介绍：第三节可测函数的构造
第三章可测函数
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可测函数
简单函数是可测函数
可测函数总可表示成一列简单函数的极限
(当可测函数有界时,可作到一致收敛)
问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?
可测集E上的连续函数(单调函数)定为可测函数
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鲁津定理
设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,则
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
(去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数)
即:可测函数“基本上”是连续函数
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鲁津定理的证明
证明:由于mE[|f|=+∞]=0 ,故不妨令f(x)为有限函数
(1) 当f(x)为简单函数时,
当x∈Ei时,f(x)=ci,所以f(x)在Fi上连续,
而Fi为两两不交闭集,故f(x)在上连续
显然F为闭集,且有
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对f(x)在F连续的说明
函数在每一块上为常值,故在每一块上都连续,
但函数在R上处处不连续
条件Fi为两两不交闭集必不可少,如:
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鲁津定理的证明
(2)当f(x)为有界可测函数时(不妨设其非负),
存在简单函数列{φn(x)} 在E上收敛于f(x),
由{φn(x)} 在F连续及收敛于f (x) ,
易知f(x)在闭集F上连续。
利用(1)的结果知
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鲁津定理的证明
则g(x)为有界可测函数,应用(2)即得我们的结果
(连续函数类关于四则运算封闭)
(3)当f(x)为一般可测函数时,作变换
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注:(1)鲁津定理推论
鲁津定理(限制定义域)
(即:去掉某个小测度集,在留下的集合上连续)
若f(x)为上几乎处处有限的可测函数,
使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε(对n维空间也成立)
则及R上的连续函数g(x)
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例对 E=R1 (x),一定存在E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x)
从而
令,即得我们所要的结果。
证明:由鲁津定理的推论知
再由Riesz定理,存在{gn(x)} 的子列{gni(x)}
使gni(x)→f(x) ,
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设f(x),对δ>0, 存在闭集,使且f(x)在上连续, 则f(x)是E上的可测函数
注:此结论即为
鲁津定理的逆定理
从而 f(x)在上可测(why?),
进一步 f(x)在上可测。
证明:由条件知, ,存在闭集
使且 f(x)在En 连续,当然 f(x)在 En上可测,
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