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第三节柯西积分公式
柯西积分公式
考虑积分
设f(z)在闭曲线C所在的区域内解析, z0为C内的点,则有
(1) 被积函数在C上连续, 积分I必然存在;
(2) 被积函数在 z0 点不解析, I 不一定为0.
例如 f(z)≡1时:
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根据闭路变形原理, 积分 I 的值沿任何一
条围绕z0的简单闭曲线都是相同的.
因此取以z0为中心, 半径 r > 0 很小的的正
向圆周| z-z0 | = r为积分曲线Cr , 则有
因此, I 只与f(z)在 z0 点附近的值有关.
可得
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由于f (z)连续, 并且积分 I 在C上的值与 r
无关, 令 r 0 得: f(z) f(z0) 即
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上式称为柯西积分公式
柯西积分公式
若f(z)在区域D内解析;
C为D内的任何一条正向简单闭曲线;
它的内部完全含于D;
z0为C内的任意一点. 则
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柯西积分公式的进一步说明
对于由简单闭曲线 C 围成的有界闭区域
上的解析函数, 它在区域内任意一点的值
可以用它在边界C上的值来表示;
柯西公式是解析函数的最基本的特性之
一,对于复变函数理论本身及其应用都
是非常重要的.
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柯西积分公式应用举例
例计算积分
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第四节解析函数的高阶导数
在实函数中, 一阶导数的存在, 并不能保
证高阶导数的存在. 而复变函数只要在
某区域内可导便有特别好的性质.
解析函数的导数仍然是解析的. 即解析函
数的任意阶导数都存在.
函数在一个区域内的解析性是很强的条
件,和仅仅在一个点可导是有非常大的
差异.
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解析函数的导数公式
解析函数f(z)的导数仍然是解析函数,它
的n阶导数为
其中闭曲线C为f(z)的解析区域D内围绕z0
的任意一条正向简单闭曲线, 而且它的内
部全含于D.
本定理证明较长,请同学们参见教材。
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解析函数高阶导数公式的常见应用
计算某些特定闭曲线的积分
例计算积分, C为正向圆周:|z| = r > 1
解
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