文档介绍：引言
在十六世纪中叶,G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次
方程时引进了复数。他发现这个方程没有根,并
把这个方程的两个根形式地表为。在当时,
包括他自己在内,谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上,
复数被Cardano引入后,在很长一段时间内不被人们所理睬,并
被认为是没有意义的,不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪,
随着微积分的产生与发展,情况才有好转。特别是由于
的研究结果,复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的
Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之
间的关系。 (-1818)
(-1822)将复数用平面向量或点来表示,以及
(德国1777-1855) (爱尔兰1805-1865)
定义复数为一对有序实数后,才消除人们对复数真实性
的长久疑虑,“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和
发展。
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复变函数的理论和方法在数学,自然科学和工程技术中有着广泛的应用,是解决诸如流体力学,电磁学,热学弹性理论中平面问题的有力工具。
复变函数中的许多概念,理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展。
第一章复数与复变函数
§
一对有序实数( )构成一个复数,记为.
自变量为复数的函数就是复变函数, ,本章将在原有的基础上作简要的复****和补充; 然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础.
x, y 分别称为 Z 的实部和虚部, 记作x=Re(Z), y=Im(Z), .
称为 Z 的共轭复数。
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与实数不同, 一般说来, 任意两个复数不能比较大小.
两个复数相等
他们的实部和虚部都相等
特别地,
:
复数的表示法
1)点表示
y
z(x,y)
x
x
0
y
r
复平面
实轴
虚轴
扎决羽竣贴惕捅浩版实桂摔昏蜕罐遥舅贴衫便倾钨虽汹剪旷宝钵嚎全锄膝复变函数1复变函数1
2) 向量表示
----复数z的辐角(argument)
记作Arg z=q .
任何一个复数z0有无穷多个幅角,将满足
-p <q0p 的q0 称为Arg z的主值, 记作q0=arg z .则
Arg z=q0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
0
x
y
x
y
q
z=x+iy
|z|=r
----复数z的模
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当 z = 0 时, | z | = 0, 而幅角不确定. arg z可由下列关系确定:
说明:当 z 在第二象限时,
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利用直角坐标与极坐标的关系: x = r cosq, y = r sinq,
可以将z表示成三角表示式:
利用欧拉公式 e iq = cosq + i sinq 得指数表示式:
例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.
[解]
1)
z在第三象限, 因此
因此
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2) 显然, r = | z | = 1, 又
因此
练****br/>写出的辐角和它的指数形式。
解:
东睬怪酣妆聋栈酌昂秩骏剔思眩睬塌获房遮瞎摸篷掩寿吭雕肥爆咳铁投敝复变函数1复变函数1
§
设
z1+z2=z2+z1 ; z1z2=z2z1 ; z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)
z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .
复数运算满足交换律,结合律和分配律:
1 . 四则运算
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加减法与平行四边形
法则的几何意义:
乘、除法的几何意义:
,
,
,
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积, 两个复
数乘积的幅角等于它们幅角的和.
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等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Ar