文档介绍：第2课时椭圆方程及性质的应用
.(重点)
,解决有关椭圆的简单综合问题.(重点)
.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 点与椭圆的位置关系
设点P(x0,y0),椭圆+=1(a>b>0).
(1)点P在椭圆上⇔+=1;
(2)点P在椭圆内⇔+<1;
(3)点P在椭圆外⇔+>1.
已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是________
①点(-2,3)在椭圆外 ②点(3,2)在椭圆上
③点(-2,-3)在椭圆内 ④点(2,-3)在椭圆上
【解析】由椭圆的对称性知点(2,-3)也在椭圆上.
【答案】④
教材整理2 直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)联立消去y得一个一元二次方程.
位置关系
解的个数
Δ的取值
相交
两解
Δ>0
相切
一解
Δ=0
相离
无解
Δ<0
设直线y=kx+b与椭圆的交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·|y1-y2|.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)点P(2,1)在椭圆+=1的内部.( )
(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( )
(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+=1相交.( )
(4)长轴是椭圆中最长的弦.( )
【答案】(1)× (2)√(3)√(4)√
[小组合作型]
直线与椭圆的位置关系
(1)若直线mx+ny=4和⊙O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为( )
(2)已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,问m为何值时,直线与椭圆相切、相交?
【精彩点拨】利用几何法判断直线与椭圆的位置关系.
【自主解答】(1)若直线与圆没有交点,则d= >2,
∴m2+n2<4,即<1.∴+<1,∴点(m,n)在椭圆的内部,故直线与椭圆有2个交点.
【答案】 A
(2)将y=x+m代入4x2+y2=1,
消去y整理得5x2+2mx+m2-1=0.
Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2.
当Δ=0时,得m=±,直线与椭圆相切.
当Δ>0时,得-<m<,直线与椭圆相交.
,Δ的符号决定了交点的个数,从而确定了其位置关系.
,一是判断位置关系,二是依据位置关系确定参数的范围,两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与椭圆方程联立,利用判别式及根与系数的关系进行求解.
[再练一题]
+2y2=2.
(1)判断直线y=x+与椭圆的位置关系;
(2)判断直线y=x+2与椭圆的位置关系;
(3)在椭圆上找一点P,使P到直线y=x+2的距离最小,并求出这个最小距离.
【解】(1)由得3x2+4x+4=0,
∵Δ=(4)2-4×3×4=0,
∴直线y=x+与椭圆相切.
(2)由得3x2+8x+6=0.
∵Δ=64-4×3×6=-8<0,
∴直