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高中数学选修2-2 第一章导数及其应用
知识网络
微积分
导数
定积分
概念
运算
应用
函数的瞬时变化率
运动的瞬时速度
曲线切线的斜率
基本初等函数求导
导数四则运算法则
简单复合函数求导
函数的单调性
函数的极值与最值
曲线的切线
变速运动的速度
最优化问题
定理
概念
曲边梯形的面积
变力做功
微积分基本定理
基本定理的应用
函数的平均变化率
运动的平均速度
曲线割线的斜率
要点归纳
一、导数的概念与运算
1、导数的概念及其几何意义
2、基本初等函数的导数
0
要点归纳
3、导数的运算法则
4、简单复合函数的导数
设, 则复合函数的导数为
要点归纳
二、导数的应用
1、讨论函数的单调性
2、求函数的极值与最值
3、解决最优化问题
函数 y = f(x)在区间(a, b)上可导
函数 y = f(x)在区间(a, b)上单调递增
函数 y = f(x)在区间(a, b)上单调递减
求导→单调性→极值→最值
审题→建模→解模→检验→答题
要点归纳
三、定积分及其应用
1、定积分的概念(曲边梯形的面积)
2、定积分的性质
, k为常数
, a<c<b
= S曲边梯形
要点归纳
3、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
如果f(x)是区间[a, b]上的连续函数,且
, 那么
4、定积分的应用
(1)定积分几何意义的应用:
(2)定积分在物理中的应用:
求由几条曲线围成的平面图形的面积.
作变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v =v(t)在时间[a,b]
例题选讲
例1 一个物体在某一受力状态下的位移S与运动时间 t 的关系为S = t 3. (1)利用导数的定义求; (2)求该物体在t =2时的瞬时速度v(2).
(1)∵
∴
∴
(2)
例题选讲
例2 求下列函数的导数:
(1)
(2)
(3)
例3 已知函数.
(1)求曲线在点(2,-6)处的切线方程;
(2)直线l为曲线的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.
(1)
(2)
(-2,-26)
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