文档介绍：一、内容摘要
1. 复变积分的概念及其简单的性质。
复变积分的定义:与普通实变函数积分相似,设是复平面上点到点的一条光滑(或分段光滑)曲线, 复变函数在上连续。把曲线任意分为个弧段:,在每个弧段上任意取一点求和: ,当时,即每个弧段长趋于0时,若和的极限存在,则称此极限为函数在上的积分,记作:. 将式,得.
复积分的基本性质:
(1) 若分为段,。
(2) ,即几个函数和的积分等于各个函数积分的和。
(3).
(4).其中曲线与的走向相反。
(5).其中,是积分曲线的弧元。
(6),其中是在积分曲线上取值的上界,即,是积分曲线的线长。
2. 柯西积分定理及其推广
单连通区域的柯西定理:若函数在单连通区域内解析,则沿内任何一条分段光滑的闭合围道(可以是区域的边界)的积分,: 若是复连通区域内的单值解析函数,则
.
上式中,所有的积分围道的走向都是逆时针(或都是顺时针)的。其中的是构成复连通区域的边界的各个分段光滑的闭合曲线,包含在的内部,并且所有的积分路径走向相同。
不定积分或原函数:在区域内满足的函数称为在区域内的一个不定积分或原函数。
3. 柯西积分公式及其推广
Cauchy积分公式:设在有界区域上单值解析, 的边界是分段光滑曲线,为内任意一点,则,通常写为。
定理: 如果在有界区域上单值解析, 则在内的任意阶导数都存在,且或.
二****题
1. 填空题
(1)=________,
(2)==________,为包围圆周的任意简单闭合曲线。
(3)=________,其中:为正向,:为负向。
(4)=_________,=____________,其中的积分围道是圆:.
(5)=________.
。
:
(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6).
(7).
(8) .
4. 计算下列积分:
(1)。
(2)。
(3)。
5. 设在区域内解析,为内的任意一条正向简单闭曲线,证明:对在内,但不在上的任意一点,等式:成立。
6. 利用积分估值定理,证明:
(1),积分路径是直线段。
(2),积分路径是联到的右半圆周。
(3)证明,积分路径是直线段。
7. 计算.
8. 由积分之值证明:
,其中取单位圆周。
9. 设表示圆周,求.
10. 设在内解析,试证明对任何,都有.
三、参考答案
1. 填空题
(1)0 .
(2).
(3)0 .
(4),.
(5).
:沿,
沿,.
3. 解:
(1)用柯西积分公式可得.
(2)用柯西积分公式可得:
.
(3)令,则在内解析,由柯西积分公式可得,
.
(4)利用单连通区域的柯西定理可得,.
(5)由单连通区域的柯西定理可知,函数在区域内解析,则该积分为0.
(6)令,则在区域内解析,又因为
,所以可得
.
(7)由柯西积分公式可得:
.
(8)令,则在内解析,由高阶导数公式可得,
.
4. 解:
(1)有两个奇点和2, 做两个小圆把它包围起来,由复连通区域柯西定理可得
.
(2)有两个奇点和