代数结构.ppt

文档介绍：代数的发展
19世纪这前的代数称为古典代数,古典代数的基本研究对象是方程,它是以讨论方程的解法为中心
19世纪至今的代数称为近世代数(抽象代数)。19世纪30年代,在寻找一元五次方程根式求解方法的过程中,年青的法国数学家伽罗瓦(E. Galois)首次得出了群的概念—用置换群的方法彻底证明了高于四次的代数方程的根式不可解性。起初他的奇思妙想和巧妙方法虽然并不被当时人接受和理解,却发展出了一门新的学科---抽象代数学。抽象代数学的研究对象是抽象的,它不是以某一具体事物为研究对象,而是以一大类具有共同性质的事物为研究对象。抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。它把一些形式上很不相同的代数系统,用统一的方法描述、研究和推理,从而得到反映出它们共性的一些本质的结论,然后再把这些结论应用到具体的代数系统中。从而抽象产生了广泛的应用。
抽象代数学在计算机中的应用
在许多实际问题的研究中都离不开数学模型,而构造数学模型就要用到某种数学结构,而抽象世代数研究的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统:半群、群、格与布尔代数等等。
计算科学的研究也离不开抽象代数的应用:半群理论在自动机理论和形式语言中发挥了重要作用;有限域理论是编码理论的数学基础, 在通讯中起过重要的作用;格和布尔代数,是电子线路设计、电子计算机硬件设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、描述作为程序设计基础的形式语义学,都需要抽象代数知识。
§1 二元运算

X上的二元运算:是指映射f:X×XX 。
X上的n元运算:是指映射
f:X×X×…×XX 。
代数系统:是指一个非空的集合和它上面的一些运算组成的一个系统.
举例
(1)实数集合R上的+、-、×运算:即下面映射
f: R × RR f(<x,y>)= x+y
g : R × RR g(<x,y>)= x-y
h : R × RR h(<x,y>)= x×y
注意÷不是实数集合R上的运算
-不是正整数集合Z上的运算
(2) A={a,b,c,d}上的二元运算可用运算表表示如
* a b c d  a b c d
a a b c d a a a a a
b b c d a b a b c d
c c d a b c a c d b
d d a b c d a d b c

设、是A上的二元运算
满足交换律:若对任意的x、y都有 x  y=y  x
满足结合律:若对任意的x、y、z都有
(x  y)z =x (y z)
对满足分配律:若对任意的x、y、z都有
x (yz)=(xy)(xz)左分配律
(yz)x =(y  x)(z x)右分配律
满足消去律:对任意的x、y 、z,
若xy = xz 则y=z

设[A,]是代数系统
幺元e:若存在eA使得对任意xA有 elx=xer=x,
则称e为[A,]的幺元。
零元0:若存在0A使得对任意xA有0lx=x0r=0,
则称0为[A,]的零元。
幂等元:若xA使得xx=x,则称x为[A,]的幂等元。
元素a的逆元:若[A,]有幺元e,若对aA存在a-1A
使得对任意xA有 aar-1=al-1a=e,则称a-1为a的逆元。
可消去元:若a  x=a  y ,则x=y。就称a为可消去元。
举例
(1)[Z,+]有幺元0,无零元,每个元素有逆元,每个元素都是可消去元;+满足交换律,结合律,消去律。
[Z,×]有幺元1,零元0,1有逆元1而其它元素无逆元,非零元素都是可消去元; ×满足交换律,结合律, × 对+满足分配律。
(2)[({a,b}),∪]有幺元,零元{a,b} , 有逆元而其它元素无逆元;∪满足交换律,结合律, ∪对∩满足分配律。
[({a,b}), ∩]有幺元{a,b} ,零元, {a,b}有逆元{a,b}而其它元素无逆元; ∩满足交换律,结合律, ∩对∪满足分配律。