文档介绍：§ 连续型随机变量及其分布函数
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.
定义与基本概念
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度
函数,简称为概率密度.
连续型随机变量及其概率密度的定义
有
,使得对任意实数,
对于随机变量 X 的分布函数F(x), 如果存在非负可积函数 f (x) ,
连续型随机变量的分布函数在上连续
概率密度的性质
1 o
2 o
面积为1
这两条性质是判定一个
f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
利用概率密度可确
定随机点落在某个
范围内的概率
对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
若 f (x) 在点 x 处连续, 则有
积分的几何意义:概率值
为曲线y=f(x)与x轴及2直线x=x1和x=x2所围的平面图形的面积
f (x)
x
o
x1
x2
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值,恰好是X 落
在区间上的概率与区间长度之比的极
限. 这里,如果把概率理解为质量, f (x) 相当于线密度。
若 x 是 f(x) 的连续点,则
对 f(x)的进一步理解:
若不计高阶无穷小,有
表示随机变量 X 取值于的概率近似等于.
在连续型随机变量理论中所起的作用与
在离散型随机变量理论中所起的
作用相类似.
要注意的是,密度函数 f (x)在某点处a的高度,并不反映X取值的概率. 但是,这个高度越大,则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说,在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
f (x)
x
o
a
当时
(1) 连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
这是因为
请注意:
得到
(2) 对连续型随机变量X , 有
由P(B)=1, 不能推出 B=Ω
由P(A)=0, 不能推出