文档介绍：§2-5 初等变换和初等矩阵
1 定义:下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:
(1)  互换i与j两行(列) (记为)
(3) 把某一行(列)所有元素的k倍分别加到另一行(列)对应的元素
上去(第j行(列)k倍加到第i行(列)上去,记为).
(2)  以数乘第i行(列)的所有元素(记为)
注(1)矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换;
(2)矩阵的初等变换是可逆的:
一初等变换的概念
例
解方程组:
增广矩阵
消元法
线性方程组
由其增广矩阵
唯一确定
注(1)下面三种变换称为方程组的同解变换:
1)互换两个方程的位置;
2)用一个非零数乘某一个方程;
3)把一个方程的倍数加到另一个方程上去.
(2) 方程组进行同解变换
↔
增广矩阵进行初等变换
如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,
则称矩阵A与B等价,记做A~B。
2 等价矩阵
矩阵等价的性质:
例
二初等变换应用之一:化简矩阵
行最简形矩阵
行阶梯形:1)若矩阵有零行,那么零行全部位于非零行的下方
2)各个非零行的左起第一个非零元素的列序数由上到下
严格递增。
行最简形: 1)行阶梯形
2)各个非零行左起的第一个非零元素为1,且其所
在的列除此元素外,其余元素均为零。
标准形:其左上角是一个r阶单位阵,其余元素为0。
行最简形矩阵
标准形矩阵
化简过程:
结论:
。
A
行阶梯形
行最简形
标准形
列
行
行
;
.
例用初等变换化简矩阵
标准形
行最简形
行阶梯形
单位矩阵
初等矩阵
三初等变换的另一种描述:初等矩阵
1 定义: 由单位矩阵E经一次初等变换而得到的矩阵
称为初等矩阵。
初等矩阵分为三类, 分别记为Eij、Ei(k)、 Eij (k);其中
Eij : 交换单位矩阵E的第i,j行
(列)
Ei(k) :单位矩阵E的第i行的元素乘以数k
(列)
Eij (k):单位矩阵E的第j行乘以数k加到第i行
(第i列)
(第j列)