文档介绍：相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧
在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:
一、作平行线
例1. 如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC延长线相交于F,求证:
证明:过点C作CG//FD交AB于G
小结:本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:相似、成比例。
例2. 如图,△ABC中,AB<AC,在AB、AC上分别截取BD=CE,DE,BC的延长线相交于点F,证明:AB·DF=AC·EF。
分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平行线。
方法一:过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMC∽△ABC(两角对应相等,两三角形相似)。
方法二:如图,过D作DN//EC交BC于N
二、作垂线
3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:。
证明:过B作BM⊥AC于M,过D作DN⊥AC于N ∴∽
∴∴(1)
又∽∴∴(2)
(1)+(2)
又∴ AN=CM
∴
三、作延长线
例5. 如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于F,FGAB于G,求证:FG=CFBF
解析:欲证式即由“三点定形”,ΔBFG与ΔCFG会相似吗?显然不可能。(因为ΔBFG为RtΔ),但由E为CD的中点,∴可设法构造一个与ΔBFG相似的三角形来求解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
则
∴
又ED=EC ∴FG=FH 又易证RtΔCFH∽RtΔGFB
∴∴FG·FH=CF·BF
∵FG=FH ∴FG2=CF·BF
四、作中线
例6 如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC。
解:取BC的中点M,连AM ∵ AB⊥AC ∴ AM=CM ∴∠1=∠C
又 BD=DC ∴∴
∴∽∴又 DC=1 MC=BC
∴(1)
又∽又∵ EC=1 ∴(2)
由(1)(2)得, ∴
小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取BC中点M,构造与相似是解题关键
练****题
1、在△ABC中,D为AC上的一点,E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。
求证:EF×BC=AC×DF
2、中,,AC=BC,P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),MN过Q且MN⊥CP,交AC、BC于M、N,求证:。
例1: 已知:如图,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D.
求证: BC2=2CD·AC.
证法一(构造2CD):如图,在AC截取DE=DC,
∵BD⊥AC于D,
∴BD是线段CE的垂直平分线,
∴BC=BE,∴∠C=∠BEC,
又∵ AB=AC,
∴∠C=∠ABC.
∴△BCE∽△ACB.
∴, ∴
∴BC2=2CD·AC.
证法二(构造2AC):如图,在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE,
∵ AB=AC,
∴ AB=AC=AE.
∴∠EBC=90°,
又∵BD⊥AC.
∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°,
∴∠E=∠DBC,
∴△EBC∽△BDC
∴即
∴BC2=2CD·AC.
证法三(构造) :如图,取BC的中点E,连结AE,则EC=.
又∵AB=AC,
∴AE⊥BC,∠ACE=∠C
∴∠AEC=∠BDC=90°
∴△ACE∽△BCD.
∴即.
∴BC2=2CD·AC.
证法四(构造):如图,取BC中点E,连结DE,则CE= .
∵BD⊥AC,∴BE=EC=EB,
∴∠EDC=∠C
又∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∴△ABC∽△EDC.
∴J即.
∴BC2=2CD·AC.
,,,是腰上的一点,连结
(1)如果,,,求的度数;
(2)设和四边形的面积分别为和,且,试求的值
(1)设,则
解法1 如图,延长、交于点
,, ,为的中点
又,又为等边三角形故
解法2 如图
作分别交、于点、
则,得平行四边形
同解法1可证得为等边三角形
故
解法3 如图
作交于,交的延长线于
作,分别交、于点、
则,得矩形
,
又,故为、的中点
以下同解法1可得是等边三角形
故
解法4 如图,
作,交于,作,