大学文科数学第二章.ppt

文档介绍：第二章微积分的直接基础——极限
主讲人:姜革命
§1 从阿基里斯追赶乌龟谈起 ——数列极限
割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割圆术,就是极限思想在几何上的应用。
一、数列概念
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”
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——(魏晋)刘徽
割圆术
正六边形的面积
正十二边形的面积
正形的面积
说明:刘徽从圆内接正六边形,逐次边数加倍到正

数列的定义
例如
称为无穷数列,简称数列.
说明:


公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家芝诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论:
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,:当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米;当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,…,
如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,,但奇怪的是,,问题究竟出在哪儿呢?
芝诺悖论—阿基里斯与乌龟
如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论就会不攻自破.
中国古代哲学家称悖论“饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心”.
科学家们通过悖论来提出问题. 悖论是科学中基础理论缺陷的产物,是对科学理论体系的挑战,是对人类智力的挑战. 研究悖论能使我们了解学科基础理论的缺陷,而解决悖论的最大意义是能帮我们解决学科基础理论的缺陷——修改或重建某些基础理论,从而使科学研究朝着健康的方向发展. 这是一种客观的需要.