文档介绍：第六章线性空间与线性变换
:
(1)2 阶矩阵的全体 S1 ;
(2)主对角线上的元素之和等于 0 的 2 阶矩阵的全体 S2 ;
(3)2 阶对称矩阵的全体 S3 .
对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间,并写出各个空间的一个基.
解(1)设 A, B 分别为二阶矩阵,则 A, B ∈ S1 显然
(A + B) ∈ S1 , kA ∈ S1 ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
⎛1 0⎞⎛ 0 1⎞⎛ 0 0⎞⎛ 0 0⎞
是的一个基
ε 1 = ⎜⎟ε 2 = ⎜⎟ε 3 = ⎜⎟ε 4 = ⎜⎟ S1 .
⎝ 0 0⎠⎝ 0 0⎠⎝1 0⎠⎝ 0 1⎠
⎛− a b⎞⎛− d e ⎞
设,
(2) A = ⎜⎟ B = ⎜⎟ A, B ∈ S2
⎝ c a⎠⎝ f d ⎠
⎛−(a + d) c + b ⎞⎛− ka kb⎞
,
A + B = ⎜⎟∈ S2 kA = ⎜⎟∈ S2 .
⎝ c + a a + d ⎠⎝ kc ka⎠
⎛1 0 ⎞⎛ 0 1⎞⎛ 0 0⎞
是一个基.
ε 1 = ⎜⎟ε 2 = ⎜⎟ε 3 = ⎜⎟
⎝ 0 − 1⎠⎝ 0 0⎠⎝1 0⎠
T T
(3)设 A, B ∈ S3 ,则 A = A, B = B
T T T
(A+ B) = A + B = A + B ,从而(A + B) ∈ S3
T T
(kA) = k A = kA ,故 kA∈ S3 ,所以对于加法和乘数运算构成线性空
间.
⎛1 0⎞⎛0 1⎞⎛0 0⎞
是的一个基
ε 1 = ⎜⎟ε 2 = ⎜⎟ε 3 = ⎜⎟ S3 .
⎝0 0⎠⎝1 0⎠⎝0 1⎠
:与向量(0,0,1)T 不平行的全体 3 维数组向量,对于数组向量
的
加法和乘数运算不构成线性空间.
解设V = {与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量},设r1 = (1,1,0) ,
r2 = (−1,0,1),则r1 , r2 ∈V .但 r1 + r2 = (0,0,1) ∉V 即V 不是线性空间.
U 是线性空间V 的一个子空间,试证:若U 与V 的维数相等,则
U = V .
证明设ε 1ε 2 "ε r 为U 的一组基,它可扩充为整个空间V 的一个基,
由
1
于dim(U ) = dim(V )从而ε 1ε 2 "ε r 也为V 的一个基,则:对于 x ∈V 可
以表示为 x = k1ε 1 + k2ε 2 + " + krε r .显然, x ∈ U ,故V ⊆ U ,而由
已知知U ⊆ V ,有U = V .
是 n 维线性空间Vn 的一个子空间,a1 ,"ar 是Vr
证: Vn 中存在元素ar+1 ,"an ,使 a1 , a2 ,"ar ,ar+1 , ,"an 成为Vn 的一个
基.
证明设 r < n ,则在Vn 中必存在一向量a r +1 ∉ Vr ,它不能被a1 , a2 ,"ar
线性表示,将ar+1 添加进来,则a1 ,a2 ,a3 ,"ar+1 是线性无关的.