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圆锥曲线
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第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:焦点在轴上时(),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
若,且,则的最大值是____,的最小值是___(答:)
(2)双曲线:焦点在轴上: =1,焦点在轴上:=1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。
如设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_______(答:)
(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。
(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由,分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)
(2)双曲线:由,项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
提醒:在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。
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(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线; ⑤离心率:,椭圆,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。
如(1)若椭圆的离心率,则的值是__(答:3或);
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:)
(2)双曲线(以()为例):①范围:或;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:两条准线; ⑤离心率:,双曲线,等轴双曲线,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:。
(3)抛物线(以为例):①范围:;②焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线; ⑤离心率:,抛物线。
如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:);
5、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外;(2)点在椭圆上=1;(3)点在椭圆内
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(1)相交:直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相