文档介绍：前言
开设《矩阵分析》的必要性
数学的重要性
理工科研究生数学能力培养的重要性
矩阵分析在信息,计算等领域的特殊重要性
2. 关于教材与教学内容
讲授3,4,5,6,7,8章;重点是3,8章
3. 关于教学方面
以提高数学思维与分析能力为主,而不以考试过关为目的
在理解和掌握数学思维,表述,分析和解决问题的系统方法与技巧方面严格要求,狠下功夫
提倡刻苦钻研,要求认真做作业,建议预****br/>辅悉炸惟穷前嫂纠街碾帝剥皂糙抽俊酞瘫售圾俗絮榜吼胀力老蒂踌船碍邦矩阵分析第3章矩阵分析第3章
线性空间的公理化定义
(page3) 非空集合V称为数域F上的线性空间,如果V上定义了加法和数乘运算:
,V,+V; kF,V,k=kV
并满足下列公理:对于,,V,k,hF成立
①+=+(交换) ②+(+)=(+)+(结合)
③存在0元0V满足: +0=
④V存在负元-V满足: +(-)=0
⑤ F乘法单位元1F满足:V,1=
⑥ k(h)=(kh)(结合)
⑦(k+h)=k+h(分配)
⑧ k(+)=k+k(分配)
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线性空间例1
* 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2R}.
x,yR2,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,kx2)T
(在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实
:(1,0)T,(0,1)T.)
* 将R2推广如下:
n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnR};
={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnC}.
(其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是
x+y=(x1+y1,…,xn+yn)T,kx=(kx1,…,kxn)T
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复矩阵(向量)的转置运算
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行向量列向量及其乘积
x= 是2维(列)向量;它的转置向量xT=(x1,x2)是2
,2维行向量的转置是2维列向量。
2维行向量与2维列向量的乘积是一个数,例如
通常,n维向量x=(x1,…,xn)T指的是n维列向量;n维行向量与n维列向量的乘积是一个数,例如
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线性空间例2
* 2阶实方阵集 R22={A=(aij)|aijR,1i,j2}.
A,BR22,kR,A+B=(aij+bij),kA=(kaij).
(不难证明R22满足线性空间的8条公理,故它是22=4维实线性空间,一组基是E11,E12,E21,E22)
* 将 R22 推广如下:
n2维实线性空间 Rnn={A=(aij)|aijR,1i,jn};
n={A=(aij)|aijC,1i,jn};
(其中,R,C分别为实数,复数的集合.)
mn 维实线性空间
Rmn={A=(aij)|aijR,i=1,…,m,j=1,…,n}.
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线性空间R22的一组基是:E11,E12,E21,E22
EijR22的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
线性空间Rmn的一组基是:{EijRmn|i=1,…m;j=1,…n}
EijRmn的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
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线性空间例3
* 闭区间[a,b]上所有实连续函数集 C[a,b]={f(x)|f(x)是[a,b]上实连续函数}.
f,gC[a,b],kR,(f+g)(x)=f(x)+g(x),
(kf)(x)=kf(x),0(x)=0,(f)(x)=f(x).
不难证明C[a,b]满足线性空间的8条公理,故它是无限维实线性空间,因为它包含下列线性无关的无穷序列:1,x,x2,x3,…
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第3章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵