文档介绍：1
代数结构(Algebraic Structure)
(二元)运算
封闭性
可交换性
可结合性
幂等性
可分配性
吸收性
代数系统
单位元(幺元)e
零元θ
可逆元和逆元
幂等元
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逆元举例
eg10.
<Z,+>每一个元都有逆元(0为单位元)
<Z+,>只有1有逆元(1为单位元)
<Zn,+n >,Zn={0,1,...,n-1},+n 模n加法(0为单位元)
<Zn,*n >,Zn={0,1,...,n-1},*n 模n乘法(1为单位元)
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常用运算特异元素
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逆元的特殊作用
b∘a =c∘a
∘ a- 1
∘ a- 1
b ∘ e=c ∘ e
b=c
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消去律
设A为集合,∘为A上二元运算,若∀a,b,c∈A,
(1)a∘b=a∘c ∧ a≠θ⇒ b=c (左消去律)
(2)b∘a=c∘a ∧ a≠θ⇒ b=c (右消去律)
则称∘运算满足消去律。
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消去律实例
Z, Q, R,+,× 满足消去律
Mn(R), 矩阵+满足消去律,矩阵×不满足消去律
P(B), ⊕满足消去律,∪、∩、−不满足消去律
设 Zn={0, 1, …, n-1} ,其中n 是正整数,
V=< Z5, > 表示模5乘法的代数系统, V中的运算满足消去律。
V=< Z4, >?
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代数系统
在集合上定义若干个运算而组成的系统,常称为代数系统。
:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算o1,o2,...,ok所组成的系统就称为一个代数系统,记作<A, o1,o2,...,ok>
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同类型的代数系统
:如果两个代数系统中运算的个数相同,对应运算的元数相同,且代数常数的个数也相同,则称这两个代数系统具有相同的构成成分,也称它们是同类型的代数系统.
例 V1=< R , +, •, - , 0 , 1 >
V2=< P(B), ∪, ∩, ~, ,B >
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实例
同类型的代数系统仅仅是构成成分相同,
不一定具有相同的性质.
V1
V2
+和•可交换,可结合
∪和∩可交换,可结合
•对+可分配
∪和∩互相可分配
+和•不遵从幂等律
∪和∩都有幂等律
+和•没有吸收律
∪和∩有吸收律
+和•都有消去律
∪和∩一般没有消去律
V1=< R , +, •, - , 0 , 1 >
V2=< P(B), ∪, ∩, ~, ,B >
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子代数
设V=<A,o1,o2,…,or>是代数系统,B是A的非空子集. 若B对于V中的所有运算封闭(含代数常数在内),则称V’=< B,o1,o2,…,or >为V的子代数,若B⊂A,子代数V’称为V的真子代数.
平凡子代数:V是V的平凡子代数.
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