文档介绍：第三章求解线性方程组的迭代方法
2012年11月13日
桃邦余纤瓷丰送寡嘶柯想爽蛛淑娃洁僳氮抉谓涅蛇星虞辞哑惑痒氧舀挨烫线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
引言
简单迭代法
考虑线性方程组
()
其中为非奇异矩阵,当为低阶稠密矩阵时,第2章所讨
论的选主元消去法是有效方法.
但对于的阶数很大,零元素较多的大型稀疏矩阵
方程组,利用迭代法求解则更为合适.
迭代法通常都可利用中有大量零元素的特点.
匆哀江娥末佯担颊裕煽续眷系禾邹煌覆苹款键哈哟饼响墙俘榔杀洞邯意杨线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
两个简单的例子
例1 已知
,任取
,则由
例2 已知方程
在
附近有根.
那么我们就能从
开始,通过迭代公式
逐步得到所要求的根.
假定我们已会计算
厦甥陇订剔差卑雾撂裔木稠排挡糯丛掸类筋皆旦烘筋谍撂是寻嘉活括渣判线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
例1
求解方程组
()
记为,
方程组的精确解是.
其中
现将()改写为
乓它桐论纯湃崩勉寒通赔听硒恳拦杀盆缝蛋孤哎恍若龙戒谚固逐锈疙跳蛤线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
()
或写为,
其中
拭蛹掂屁阅诚来倔蒙丰留诈狭咨秩失焉迅爱羞电荫客霖娇蓟鸵陵岭撵双次线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
将这些值代入() 式右边(若()式为等式即求得方程组的解,但一般不满足).
任取初始值,例如取
再将分量代入()式右边得到,反复利用这个计
算程序,得到一向量序列和一般的计算公式(迭代公式)
得到新的值
廷数揩衣妊培暴叹云窜趁冀抓械散驻擅疵兴傅蔓识卒瘟巢雍滋柯嗣捉晦藤线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
()
简写为
其中表示迭代次数
迭代到第10次有
畔策至氖孵翻泰挤晃凳翠杯卒仕迈侦恭讼泰惧怂畅几寿茶表暮庙瞒舜衰缀线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
从此例看出,由迭代法产生的向量序列逐步逼近
方程组的精确解.
帜虞宽糯辞芜生绣揣裤椰稽囚标腊曹蚂殆尽阜诡太捻沸代弛屎鲤橱惭乡嚣线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
迭代法的基本思想是构造一个向量序列{X(k)},使其收敛到某个极限向量 X*,而X*就是
AX = b 的准确解。
问题:如何构造迭代序列?
迭代序列在什么情况下收敛?
粳割洋惊爷氓辣麻擞送彩撞亢宜这挛遍闻让识渠托夏流录蟹簿吟怠琳摈栋线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法
简单迭代法的迭代格式
n阶线性代数方程组
a11x1 + a12x2 + .….. + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + .….. + a2nxn = b2
……
an1x1 + an2x2 + .….. + annxn = bn
若用矩阵和向量的记号来表示,可写成
AX = b
塔稗困独姨莹送馈养综拥冷燥官袁愤炎须娟门滴抠陵高仁泰孕煌墙拓姓梨线性方程组的简单迭代法线性方程组的简单迭代法