二节相似矩阵.ppt

文档介绍：一、,B为n阶矩阵。如果存在一个n阶可逆矩阵P,使得()则称矩阵A与B相似,记作“相似”是矩阵间的一种关系,它具有如下性质:(1)反身性:对任意方阵A,都有。因为(2)对称性:若,则。因(3)传递性:若,则相似矩阵的特征值相同。相似矩阵具有如下重要性质:性质1性质2若,且A可逆,则B也可逆,且性质3若,则,其中m是正整数。性质4性质6性质5相似矩阵的行列式相等。相似矩阵的秩相等。相似矩阵的迹相等。例2已知矩阵如果A与B相似,求x,y的值。解法1因为,所以A,B有相同的行列式和迹。于是tr(A)=tr(B),即①又可得解得代入①得解法2相似矩阵有相当的特征多项式。由有即计算两个行列式,得到比较等式两边同次幂的系数,得解得二、矩阵可相似对角化的条件如果矩阵A可以与一个对角矩阵相似,则称矩阵A可相似对角化(可对角化)。。推论若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则矩阵A可与对角矩阵相似。,我们已经求得矩阵的特征值对应的线性无关的特征向量为而特征值对应的特征向量为且线性无关。令则例4设矩阵判断A是否可对角化?解矩阵A的特征多项式(第2、3列加到第1列上)由此得A的特征值对于特征值解齐次线性方程组得A的对应于的一个特征向量对于特征值解齐次线性方程组可得其基础解系由于2是A的二重特征值,对应于的特征向量仅有一个。对于矩阵A,不能求出三个线性无关的特征向量,因此A不能相似对角化。,如能,则求出P,使解由于